Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 16, 48, 12, 39, 32, 18.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 86.

μ = 70σ = 8x = 86

z =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 3 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 3

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 10 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?

n = 10p = 0,4k = 3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9031. Trova z con due decimali.

A = 0,9031

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).

μ = 65σ = 10P = 20%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 15 elementi ha media 12 e deviazione standard s = 8,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 15x̄ = 12s = 8,595%t(14) = 2,145

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 18. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?

σ = 18E = 290%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 60 pezzi ha lunghezza media 86,5 mm, e la deviazione standard nota della linea è 6 mm. Linea 2: un campione di 60 pezzi ha media 89,8 mm, deviazione standard nota 13 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).

n₁ = 60x̄₁ = 86,5 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 60x̄₂ = 89,8 mmσ₂ = 13 mm

z =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 4 unità con una potenza del 80%. La deviazione standard è 26. Trova la dimensione minima del campione n.

α = 0,05potenza = 80%δ = 4σ = 26z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 6

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 104?

n = 5ŷ = 104

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,39

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 165/6 = 27,5

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−11,5)² + 20,5² + (−15,5)² + 11,5² + 4,5² + (−9,5)² = 1036

Deviazione standard

s = √(1036/5) = 14,39

Risposta

s = 14,39

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 2

Standardizza

z = (86 − 70)/8 = 2

Risposta

z = 2

3.Probabilità

Risposta: P = 0,4213

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Risposta

P = 0,4213

4.Probabilità

Risposta: P = 0,215

Formula binomiale

P(X = 3) = 120·0,4³·0,6⁷ = 120·0,064·0,02799 = 0,215

Risposta

P = 0,215

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,66

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,9031)/2 = 0,9515

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,9515 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,66

Risposta

z = 1,66

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 56,58 punti

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Ritorno a x

x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 punti

Risposta

x = 56,58 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 7,292

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Margine di errore

E = 2,145·8,5/√15 = 4,708

Intervallo

12 ± 4,708 → [7,292, 16,71]

Risposta

limite inferiore = 7,292

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 220

Ricava n

n = (1,645·18/2)² = 219,2

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 220

Risposta

n = 220

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −1,785

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Errore standard della differenza

SE = √(6²/60 + 13²/60) = √3,417 = 1,848

Statistica test

z = (86,5 − 89,8)/1,848 = −1,785

Risposta

z = −1,785

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 262

Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = ((1,645 + 0,842)·26/4)² = 261,3

Arrotonda per eccesso

n = 262

Risposta

n = 262

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9884

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 633/6 = 105,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 419

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2538

Coefficiente di determinazione

r² = 419²/(70·2538) = 0,9884

Risposta

r² = 0,9884

Circa il 98,84% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 22,08

Medie

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 429/5 = 85,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

Retta di regressione

b = 236/40 = 5,9

a = 85,8 − 5,9·19 = −26,3

ŷ = −26,3 + 5,9·x

Risolvi per x

x = (104 − (−26,3))/5,9 = 22,08

Risposta

x = 22,08

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