Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 22, 28, 22, 58, 60.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 69.

μ = 60σ = 15x = 69

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,35, 0,1, 0,2

σ =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 12 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 12p = 0,1

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 96,25 e 115,75 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 96,25x₂ = 115,75

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 5 % dei dati (il 5° percentile).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 21 elementi ha media 90,5 e deviazione standard s = 15,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 21x̄ = 90,5s = 15,599%t(20) = 2,845

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 31. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 4?

σ = 31E = 499%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 121,8 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,8s = 15n = 100

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1,5? La deviazione standard è 5. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 5E = 1,595%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (6, 52). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(6, 52)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 19,34

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 190/5 = 38

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−16)² + (−10)² + (−16)² + 20² + 22² = 1496

Deviazione standard

s = √(1496/4) = 19,34

Risposta

s = 19,34

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 0,6

Standardizza

z = (69 − 60)/15 = 0,6

Risposta

z = 0,6

3.Probabilità

Risposta: σ = 2,216

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,35 + 2·0,35 + 4·0,1 + 6·0,2 = 2,3

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,35 + 16·0,1 + 36·0,2 = 10,2

Varianza

Var(X) = 10,2 − 2,3² = 4,91

σ = √4,91 = 2,216

Risposta

σ = 2,216

4.Probabilità

Risposta: P = 0,659

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,9¹² = 0,2824

P(X = 1) = 12·0,1·0,9¹¹ = 0,3766

Sommale

P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659

Risposta

P = 0,659

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,4518

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (96,25 − 100)/15 = −0,25

z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05

Area compresa

P = Φ(1,05) − Φ(−0,25) = 0,8531 − 0,4013 = 0,4518

Risposta

P = 0,4518

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 166,5 cm

z del percentile

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Ritorno a x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Risposta

x = 166,49 cm

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 80,88

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Margine di errore

E = 2,845·15,5/√21 = 9,623

Intervallo

90,5 ± 9,623 → [80,88, 100,1]

Risposta

limite inferiore = 80,88

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 399

Ricava n

n = (2,576·31/4)² = 398,6

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 399

Risposta

n = 399

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 1,2

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Statistica test

t = (121,8 − 120)/1,5 = 1,2

Risposta

t = 1,2

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 43

Ricava n

n = (1,96·5/1,5)² = 42,68

Arrotonda per eccesso

n = 43

Risposta

n = 43

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9692

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 100/6 = 16,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 97,33

Coefficiente di correlazione

r = −40/√(17,5·97,33) = −0,9692

Risposta

r = −0,9692

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 2,2

Medie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 270/5 = 54

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

Retta di regressione

b = 168/40 = 4,2

a = 54 − 4,2·7 = 24,6

ŷ = 24,6 + 4,2·x

Valore previsto

ŷ = 24,6 + 4,2·6 = 49,8

Residuo

e = 52 − 49,8 = 2,2

Risposta

e = 2,2

Il punto si trova sopra la retta.

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