Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 55, 55, 26, 48, 38.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 106.

μ = 100σ = 15x = 106

z =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 4 persone da un gruppo di 15? L'ordine non conta.

n = 15k = 4

N =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 11 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 1 risposte corrette?

n = 11p = 0,2k = 1

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 247,75 e 257,5 g? Dai P come numero decimale.

μ = 250σ = 5x₁ = 247,75x₂ = 257,5

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 75% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 64 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 11,3. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 90% basato su 256 osservazioni?

95%n₁ = 64E₁ = 11,390%n₂ = 256

E₂ =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 21 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 4,6 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 20, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 9,591 e il 2,5% sopra 34,17.

n = 21s = 4,6 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 197 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197s = 8n = 49

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 36 misure ha media 203,8. La deviazione standard della popolazione è 12. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 203,8σ = 12n = 3699%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 3.

n = 6x = 3

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 12,42

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 222/5 = 44,4

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 10,6² + 10,6² + (−18,4)² + 3,6² + (−6,4)² = 617,2

Deviazione standard

s = √(617,2/4) = 12,42

Risposta

s = 12,42

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 0,4

Standardizza

z = (106 − 100)/15 = 0,4

Risposta

z = 0,4

3.Probabilità

Risposta: N = 1365

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365

Risposta

N = 1365

4.Probabilità

Risposta: P = 0,2362

Formula binomiale

P(X = 1) = 11·0,2¹·0,8¹⁰ = 11·0,2·0,1074 = 0,2362

Risposta

P = 0,2362

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6068

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (247,75 − 250)/5 = −0,45

z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5

Area compresa

P = Φ(1,5) − Φ(−0,45) = 0,9332 − 0,3264 = 0,6068

Risposta

P = 0,6068

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 253,4 g

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,75

z dalla tabella

z ≈ 0,67

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g

Risposta

x = 253,4 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 4,742

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(64/256) = 0,4196

Nuovo margine

E₂ = 11,3·0,4196 = 4,742

Risposta

E₂ = 4,742

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 6,643 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 20·4,6² = 423,2

Limiti per σ²

423,2/34,17 = 12,39

423,2/9,591 = 44,12

Limite per σ

σ = √44,12 = 6,643 µm

Risposta

σ = 6,643 µm

Intervallo al 95% per σ: [3,519, 6,643] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2,625

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Statistica test

t = (197 − 200)/1,143 = −2,625

Risposta

t = −2,625

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 209

Margine di errore

E = 2,576·12/√36 = 5,152

Limite dell'intervallo

U = 203,8 + 5,152 = 209

Risposta

U = 209

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9806

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 391/6 = 65,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 231

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 792,8

Coefficiente di correlazione

r = 231/√(70·792,8) = 0,9806

Risposta

r = 0,9806

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 63,74

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 535/6 = 89,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 445

Retta di regressione

b = 445/70 = 6,357

a = 89,17 − 6,357·7 = 44,67

ŷ = 44,67 + 6,357·x

Previsione

ŷ = 44,67 + 6,357·3 = 63,74

Risposta

ŷ = 63,74

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