Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 52, 55, 18, 43, 13, 26, 32.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 90?

μ = 100σ = 5x = 90

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 3 palline rosse e 9 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

3 / 9

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 10 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?

n = 10p = 0,7k = 5

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Le masse di bulloni sono indipendenti e normali con media 40 g e deviazione standard 1,2 g. Trova la probabilità P che la massa totale di 9 di essi sia inferiore a 361,8 g. Arrotonda z a due decimali.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9< 361.8 g

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 25 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 5,8. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 95% basato su 225 osservazioni?

99%n₁ = 25E₁ = 5,895%n₂ = 225

E₂ =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 19. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?

σ = 19E = 0,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 504,8 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,8s = 10n = 25

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 25 misure ha media 51,2. La deviazione standard della popolazione è 10. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.

x̄ = 51,2σ = 10n = 2590%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 24?

n = 5ŷ = 24

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 16,39

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 239/7 = 34,14

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 17,86² + 20,86² + (−16,14)² + 8,857² + (−21,14)² + (−8,143)² + (−2,143)² = 1611

Deviazione standard

s = √(1611/6) = 16,39

Risposta

s = 16,39

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,02275

Standardizza

z = −2

Tavola della normale standard

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Risposta

P = 0,02275

3.Probabilità

Risposta: P = 0,04545

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0,04545

Risposta

P = 0,04545

4.Probabilità

Risposta: P = 0,1029

Formula binomiale

P(X = 5) = 252·0,7⁵·0,3⁵ = 252·0,1681·0,00243 = 0,1029

Risposta

P = 0,1029

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6915

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione del totale

μ_T = 360 g, σ_T = 1,2·√9 = 3,6 g

Standardizza

z = (361,8 − 360)/3,6 = 0,5

Probabilità

P = Φ(0,5) = 0,6915

Risposta

P = 0,6915

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 27,95 min

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Ritorno a x

x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min

Risposta

x = 27,95 min

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 1,471

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(25/225) = 0,2536

Nuovo margine

E₂ = 5,8·0,2536 = 1,471

Risposta

E₂ = 1,471

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 5548

Ricava n

n = (1,96·19/0,5)² = 5547

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 5548

Risposta

n = 5548

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,4

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Statistica test

t = (504,8 − 500)/2 = 2,4

Risposta

t = 2,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 54,49

Margine di errore

E = 1,645·10/√25 = 3,29

Limite dell'intervallo

U = 51,2 + 3,29 = 54,49

Risposta

U = 54,49

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,8189

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 25,2

Coefficiente di correlazione

r = −13/√(10·25,2) = −0,8189

Risposta

r = −0,8189

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 1,235

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 105/5 = 21

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

Retta di regressione

b = −17/10 = −1,7

a = 21 − (−1,7)·3 = 26,1

ŷ = 26,1 − 1,7·x

Risolvi per x

x = (24 − 26,1)/(−1,7) = 1,235

Risposta

x = 1,235

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