Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 11, 29, 48, 39, 36, 59, 41.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 50,4?

μ = 60σ = 8x = 50,4

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 7 palline rosse e 3 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

7 / 3

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 7 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 7p = 0,7

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9576. Trova z con due decimali.

A = 0,9576

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 70% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 100 puntiσ = 15 punti70%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 13 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 6 e deviazione standard 5,8. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.

n = 13d̄ = 6s_d = 5,899%t(12) = 3,055

E = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 25 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 11,9 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 24, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 12,401 e il 2,5% sopra 39,364.

n = 25s = 11,9 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 98,31 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,31s = 15n = 64

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 36 misure ha media 42,7. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 42,7σ = 20n = 3699%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 56?

n = 5ŷ = 56

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,08

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 263/7 = 37,57

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−26,57)² + (−8,571)² + 10,43² + 1,429² + (−1,571)² + 21,43² + 3,429² = 1364

Deviazione standard

s = √(1364/6) = 15,08

Risposta

s = 15,08

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,1151

Standardizza

z = −1,2

Tavola della normale standard

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Risposta

P = 0,1151

3.Probabilità

Risposta: P = 0,4667

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667

Risposta

P = 0,4667

4.Probabilità

Risposta: P = 0,003791

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,3⁷ = 0,0002187

P(X = 1) = 7·0,7·0,3⁶ = 0,003572

Sommale

P = 0,0002187 + 0,003572 = 0,003791

Risposta

P = 0,003791

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 2,03

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,9576)/2 = 0,9788

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,9788 dentro la tabella e leggi z.

z = 2,03

Risposta

z = 2,03

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 92,2 punti

Area a sinistra

Φ(z) = 0,3

z dalla tabella

z ≈ −0,52

Di nuovo nelle unità originali

x = 100 − 0,52·15 = 92,2 punti

Risposta

x = 92,2 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 4,914 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 12, t = 3,055

Margine di errore

E = 3,055·5,8/√13 = 4,914

Risposta

E = 4,914 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 9,292 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 24·11,9² = 3399

Limiti per σ²

3399/39,364 = 86,34

3399/12,401 = 274,1

Limite per σ

σ = √86,34 = 9,292 µm

Risposta

σ = 9,292 µm

Intervallo al 95% per σ: [9,292, 16,55] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −0,9013

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Statistica test

t = (98,31 − 100)/1,875 = −0,9013

Risposta

t = −0,9013

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 34,11

Margine di errore

E = 2,576·20/√36 = 8,587

Limite dell'intervallo

L = 42,7 − 8,587 = 34,11

Risposta

L = 34,11

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9942

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 439/6 = 73,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 399

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2301

Coefficiente di correlazione

r = 399/√(70·2301) = 0,9942

Risposta

r = 0,9942

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 2,938

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 329/5 = 65,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

Retta di regressione

b = 128/40 = 3,2

a = 65,8 − 3,2·6 = 46,6

ŷ = 46,6 + 3,2·x

Risolvi per x

x = (56 − 46,6)/3,2 = 2,938

Risposta

x = 2,938

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