Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 24, 26, 26, 53, 12, 26.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 92?

μ = 100σ = 10x = 92

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 6 palline rosse e 3 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

6 / 3

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 8 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?

n = 8p = 0,2k = 4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

X è normale con media 60 s e deviazione standard 5 s; Y è indipendente e normale con media 45 s e deviazione standard 4 s. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 117,8 s. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117,8 s

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 15% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 30 telefoni, media 106,5 h, deviazione standard nota 9 h. Modello 2: 60 telefoni, media 93 h, deviazione standard nota 14 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 106,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 60x̄₂ = 93 hσ₂ = 14 h99%

E = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 10 parcelle, resa media 63,5 kg, deviazione standard 6,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 12 parcelle, media 54 kg, deviazione standard 5,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 63,5s₁ = 6,5n₂ = 12x̄₂ = 54s₂ = 5,590%t(20) = 1,725

E = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 13 studenti, punteggio medio 34, deviazione standard 8,5. Gruppo 2: 8 studenti, punteggio medio 24,9, deviazione standard 6,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 13x̄₁ = 34s₁ = 8,5n₂ = 8x̄₂ = 24,9s₂ = 6,5

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 56 pazienti su 80 con il trattamento A guariscono, e 157 su 250 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 56n₁ = 80x₂ = 157n₂ = 250

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 112?

n = 6ŷ = 112

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 13,48

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 167/6 = 27,83

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−3,833)² + (−1,833)² + (−1,833)² + 25,17² + (−15,83)² + (−1,833)² = 908,8

Deviazione standard

s = √(908,8/5) = 13,48

Risposta

s = 13,48

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,2119

Standardizza

z = −0,8

Tavola della normale standard

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Risposta

P = 0,2119

3.Probabilità

Risposta: P = 0,4167

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Risposta

P = 0,4167

4.Probabilità

Risposta: P = 0,04588

Formula binomiale

P(X = 4) = 70·0,2⁴·0,8⁴ = 70·0,0016·0,4096 = 0,04588

Risposta

P = 0,04588

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,02275

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della somma

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standardizza

z = (117,8 − 105)/6,403 = 2

Coda superiore

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Risposta

P = 0,02275

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 542 h

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,85

z dalla tabella

z ≈ 1,04

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Risposta

x = 542 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 6,292 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 106,5 − 93 = 13,5

Errore standard

SE = √(9²/30 + 14²/60) = 2,443

Margine di errore

E = 2,576·2,443 = 6,292

Risposta

E = 6,292 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 4,41 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (9·6,5² + 11·5,5²)/20 = 35,65

s_p = 5,971

Margine di errore

E = 1,725·5,971·√(1/10 + 1/12) = 4,41

Risposta

E = 4,41 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,589

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (12·8,5² + 7·6,5²)/19 = 61,2

s_p = 7,823

Errore standard

SE = 7,823·√(1/13 + 1/8) = 3,515

Statistica test

t = (34 − 24,9)/3,515 = 2,589

Risposta

t = 2,589

Con df = 19, il valore critico bilaterale al 5% è 2,093; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 1,172

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 56/80 = 0,7

p̂₂ = 157/250 = 0,628

p̂ = 213/330 = 0,6455

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,6455·0,3545·(1/80 + 1/250)) = 0,06145

Statistica test

z = (0,7 − 0,628)/0,06145 = 1,172

Risposta

z = 1,172

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9089

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 154/6 = 25,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 75,33

Coefficiente di correlazione

r = −33/√(17,5·75,33) = −0,9089

Risposta

r = −0,9089

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 20,48

Medie

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 771/6 = 128,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 859,5

Retta di regressione

b = 859,5/157,5 = 5,457

a = 128,5 − 5,457·23,5 = 0,2571

ŷ = 0,2571 + 5,457·x

Risolvi per x

x = (112 − 0,2571)/5,457 = 20,48

Risposta

x = 20,48

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