Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 24, 44, 23, 49, 15, 42, 24.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 64?

μ = 60σ = 10x = 64

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,15, 0,35, 0,15

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 5 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 5p = 0,3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 32 e 38 min? Dai P come numero decimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 32x₂ = 38

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 90 % dei dati (il 90° percentile).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 12 elementi ha media 50 e deviazione standard s = 12,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 12x̄ = 50s = 12,595%t(11) = 2,201

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 21. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?

σ = 21E = 2,590%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 116,1 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,1s = 5n = 16

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 78 pazienti su 120 con il trattamento A guariscono, e 71 su 120 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 78n₁ = 120x₂ = 71n₂ = 120

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 27Σy = 294Σx² = 139Σy² = 14652Σxy = 1388

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (16, 81). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(16, 81)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 13,1

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 221/7 = 31,57

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−7,571)² + 12,43² + (−8,571)² + 17,43² + (−16,57)² + 10,43² + (−7,571)² = 1030

Deviazione standard

s = √(1030/6) = 13,1

Risposta

s = 13,1

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,6554

Standardizza

z = 0,4

Tavola della normale standard

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Risposta

P = 0,6554

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 121

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 10·0,35 + 20·0,15 + 30·0,35 + 40·0,15 = 23

Media dei quadrati

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,15 + 900·0,35 + 1600·0,15 = 650

Varianza

Var(X) = 650 − 23² = 121

Risposta

Var(X) = 121

4.Probabilità

Risposta: P = 0,5282

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,7⁵ = 0,1681

P(X = 1) = 5·0,3·0,7⁴ = 0,3601

Sommale

P = 0,1681 + 0,3601 = 0,5282

Risposta

P = 0,5282

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,3413

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (32 − 32)/6 = 0

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Area compresa

P = Φ(1) − Φ(0) = 0,8413 − 0,5 = 0,3413

Risposta

P = 0,3413

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 77,82 punti

z del percentile

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Ritorno a x

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 punti

Risposta

x = 77,82 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 7,942

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Margine di errore

E = 2,201·12,5/√12 = 7,942

Risposta

E = 7,942

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 191

Ricava n

n = (1,645·21/2,5)² = 190,9

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 191

Risposta

n = 191

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,12

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Statistica test

t = (116,1 − 120)/1,25 = −3,12

Risposta

t = −3,12

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 0,9313

Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 78/120 = 0,65

p̂₂ = 71/120 = 0,5917

p̂ = 149/240 = 0,6208

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,6208·0,3792·(1/120 + 1/120)) = 0,06264

Statistica test

z = (0,65 − 0,5917)/0,06264 = 0,9313

Risposta

z = 0,9313

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9907

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 1388 − 27·294/6 = 65

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 14652 − 294²/6 = 246

Coefficiente di correlazione

r = 65/√(17,5·246) = 0,9907

Risposta

r = 0,9907

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −4,1

Medie

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 523/5 = 104,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 260

Retta di regressione

b = 260/40 = 6,5

a = 104,6 − 6,5·19 = −18,9

ŷ = −18,9 + 6,5·x

Valore previsto

ŷ = −18,9 + 6,5·16 = 85,1

Residuo

e = 81 − 85,1 = −4,1

Risposta

e = −4,1

Il punto si trova sotto la retta.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1