Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 36, 42, 47, 38, 48, 11.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 92?

μ = 100σ = 10x = 92

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 8 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 8

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 6 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?

n = 6p = 0,25k = 4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,6700. Trova z con due decimali.

A = 0,6700

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un intervallo di confidenza al 90% per una media, basato su 64 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 4. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 99% calcolato dagli stessi dati?

90%n₁ = 64E₁ = 499%

E₂ =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 14. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?

σ = 14E = 395%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 203,2 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,2s = 15n = 64

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 16 misure ha media 99,9. La deviazione standard della popolazione è 4. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.

x̄ = 99,9σ = 4n = 1695%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 6

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (3, 14). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(3, 14)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 13,59

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 222/6 = 37

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−1)² + 5² + 10² + 1² + 11² + (−26)² = 924

Deviazione standard

s = √(924/5) = 13,59

Risposta

s = 13,59

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,2119

Standardizza

z = −0,8

Tavola della normale standard

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Risposta

P = 0,2119

3.Probabilità

Risposta: P = 0,7674

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Risposta

P = 0,7674

4.Probabilità

Risposta: P = 0,03296

Formula binomiale

P(X = 4) = 15·0,25⁴·0,75² = 15·0,003906·0,5625 = 0,03296

Risposta

P = 0,03296

5.Distribuzione normale

Risposta: z = −0,44

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,6700 = 0,3300

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,3300 dentro la tabella e leggi z.

z = −0,44

Risposta

z = −0,44

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 246,6 g

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Ritorno a x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Risposta

x = 246,63 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 6,264

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/64) = 1,566

Nuovo margine

E₂ = 4·1,566 = 6,264

Risposta

E₂ = 6,264

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 84

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (1,96·14/3)² = 83,66

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 84

Risposta

n = 84

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 1,707

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Statistica test

t = (203,2 − 200)/1,875 = 1,707

Risposta

t = 1,707

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 97,94

Margine di errore

E = 1,96·4/√16 = 1,96

Limite dell'intervallo

L = 99,9 − 1,96 = 97,94

Risposta

L = 97,94

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9726

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 93/6 = 15,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 125

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 229,5

Coefficiente di determinazione

r² = 125²/(70·229,5) = 0,9726

Risposta

r² = 0,9726

Circa il 97,26% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 4,8

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 103/5 = 20,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Retta di regressione

b = 152/40 = 3,8

a = 20,6 − 3,8·6 = −2,2

ŷ = −2,2 + 3,8·x

Valore previsto

ŷ = −2,2 + 3,8·3 = 9,2

Residuo

e = 14 − 9,2 = 4,8

Risposta

e = 4,8

Il punto si trova sopra la retta.

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