Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 25, 46, 47, 21, 52, 27.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 20?

μ = 50σ = 20x = 20

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 4 persone da un gruppo di 11? L'ordine non conta.

n = 11k = 4

N =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 8 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?

n = 8p = 0,3k = 5

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 24,8 e 35 min? Dai P come numero decimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 24,8x₂ = 35

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,02 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,015 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 9 elementi ha media 11,5 e deviazione standard s = 2. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 9x̄ = 11,5s = 299%t(8) = 3,355

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 14. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?

σ = 14E = 0,590%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 50 pezzi ha lunghezza media 51 mm, e la deviazione standard nota della linea è 6 mm. Linea 2: un campione di 60 pezzi ha media 49,4 mm, deviazione standard nota 12 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).

n₁ = 50x̄₁ = 51 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 60x̄₂ = 49,4 mmσ₂ = 12 mm

z =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 30 pazienti su 200 con il trattamento A guariscono, e 60 su 300 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 30n₁ = 200x₂ = 60n₂ = 300

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5,5, 13). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 13)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 13,44

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 218/6 = 36,33

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−11,33)² + 9,667² + 10,67² + (−15,33)² + 15,67² + (−9,333)² = 903,3

Deviazione standard

s = √(903,3/5) = 13,44

Risposta

s = 13,44

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,06681

Standardizza

z = −1,5

Tavola della normale standard

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Risposta

P = 0,06681

3.Probabilità

Risposta: N = 330

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

Risposta

N = 330

4.Probabilità

Risposta: P = 0,04668

Formula binomiale

P(X = 5) = 56·0,3⁵·0,7³ = 56·0,00243·0,343 = 0,04668

Risposta

P = 0,04668

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,5764

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (24,8 − 32)/6 = −1,2

z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5

Area compresa

P = Φ(0,5) − Φ(−1,2) = 0,6915 − 0,1151 = 0,5764

Risposta

P = 0,5764

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7881

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Standardizza

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Probabilità

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Risposta

P = 0,7881

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 2,237

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Margine di errore

E = 3,355·2/√9 = 2,237

Risposta

E = 2,237

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 2122

Ricava n

n = (1,645·14/0,5)² = 2122

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 2122

Risposta

n = 2122

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 0,9058

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Errore standard della differenza

SE = √(6²/50 + 12²/60) = √3,12 = 1,766

Statistica test

z = (51 − 49,4)/1,766 = 0,9058

Risposta

z = 0,9058

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −1,426

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 30/200 = 0,15

p̂₂ = 60/300 = 0,2

p̂ = 90/500 = 0,18

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,18·0,82·(1/200 + 1/300)) = 0,03507

Statistica test

z = (0,15 − 0,2)/0,03507 = −1,426

Risposta

z = −1,426

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9611

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 340/5 = 68

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 333

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1282

Coefficiente di determinazione

r² = 333²/(90·1282) = 0,9611

Risposta

r² = 0,9611

Circa il 96,11% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 2,41

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 104/6 = 17,33

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −59

Retta di regressione

b = −59/17,5 = −3,371

a = 17,33 − (−3,371)·3,5 = 29,13

ŷ = 29,13 − 3,371·x

Valore previsto

ŷ = 29,13 + (−3,371)·5,5 = 10,59

Residuo

e = 13 − 10,59 = 2,41

Risposta

e = 2,41

Il punto si trova sopra la retta.

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