Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 11, 27, 48, 35, 23, 17, 52.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 100. Trova il punteggio z z di un voto pari a 450.

μ = 500σ = 100x = 450

z =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 14? L'ordine non conta.

n = 14k = 5

N =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 1 risposte corrette?

n = 12p = 0,25k = 1

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,1515. Trova z con due decimali.

A = 0,1515

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 95% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 12 elementi ha media 35,5 e deviazione standard s = 9,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 12x̄ = 35,5s = 9,595%t(11) = 2,201

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 11 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 4,1 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 10, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 3,247 e il 2,5% sopra 20,483.

n = 11s = 4,1 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 106 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 106s = 20n = 49

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 24 pazienti su 120 con il trattamento A guariscono, e 12 su 100 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 24n₁ = 120x₂ = 12n₂ = 100

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 46?

n = 6ŷ = 46

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,38

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 213/7 = 30,43

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−19,43)² + (−3,429)² + 17,57² + 4,571² + (−7,429)² + (−13,43)² + 21,57² = 1420

Deviazione standard

s = √(1420/6) = 15,38

Risposta

s = 15,38

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −0,5

Standardizza

z = (450 − 500)/100 = −0,5

Risposta

z = −0,5

3.Probabilità

Risposta: N = 2002

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002

Risposta

N = 2002

4.Probabilità

Risposta: P = 0,1267

Formula binomiale

P(X = 1) = 12·0,25¹·0,75¹¹ = 12·0,25·0,04224 = 0,1267

Risposta

P = 0,1267

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,03

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,1515 = 0,8485

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,8485 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,03

Risposta

z = 1,03

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 434 h

Area a sinistra

Φ(z) = 0,05

z dalla tabella

z ≈ −1,64

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 − 1,64·40 = 434 h

Risposta

x = 434 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 41,54

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Margine di errore

E = 2,201·9,5/√12 = 6,036

Intervallo

35,5 ± 6,036 → [29,46, 41,54]

Risposta

limite superiore = 41,54

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 2,865 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 10·4,1² = 168,1

Limiti per σ²

168,1/20,483 = 8,207

168,1/3,247 = 51,77

Limite per σ

σ = √8,207 = 2,865 µm

Risposta

σ = 2,865 µm

Intervallo al 95% per σ: [2,865, 7,195] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,1

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Statistica test

t = (106 − 100)/2,857 = 2,1

Risposta

t = 2,1

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 1,597

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 24/120 = 0,2

p̂₂ = 12/100 = 0,12

p̂ = 36/220 = 0,1636

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,1636·0,8364·(1/120 + 1/100)) = 0,05009

Statistica test

z = (0,2 − 0,12)/0,05009 = 1,597

Risposta

z = 1,597

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9616

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 313/6 = 52,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 380,8

Coefficiente di correlazione

r = 78,5/√(17,5·380,8) = 0,9616

Risposta

r = 0,9616

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 2,028

Medie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 340/6 = 56,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

Retta di regressione

b = 188/70 = 2,686

a = 56,67 − 2,686·6 = 40,55

ŷ = 40,55 + 2,686·x

Risolvi per x

x = (46 − 40,55)/2,686 = 2,028

Risposta

x = 2,028

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