Statistica descrittiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Deviazione standard campionaria
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valore centrale dei dati ordinati
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuzione normale
- 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Statistica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Probabilità
- Complementare
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regola della somma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventi indipendenti
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilità condizionata
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomiale
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuzione normale
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Sotto x
- P(X < x) = Φ(z)
- Sopra x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tra due valori
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentile
- x = μ + z·σ
Metodo
- Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
- Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
- Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
- Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.
Intervalli di confidenza
- σ nota
- x̄ ± z·σ/√n
- σ incognita
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z critico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Numerosità campionaria
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
- Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
- Trova il valore critico per il livello di confidenza.
- Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
- Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
- Test z per una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t per una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilaterale al 5%
- rifiuta H0 se |z| > 1,96
- Intervallo di confidenza
- x̄ ± z·σ/√n
Metodo
- Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
- Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
- Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
- Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
Regressione lineare e correlazione
- Somme dei quadrati
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendenza
- b = Sxy/Sxx
- Intercetta
- a = ȳ − b·x̄
- Correlazione
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Esercizi
1.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 12, 29, 51, 51, 31.
n = 5
s =
2.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 118?
μ = 100σ = 12x = 118
P =
3.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3
Var(X) =
4.ProbabilitàDifficile
Giocare a un gioco costa 2 €. Si vincono 6 € con probabilità 0,15 e 100 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.
posta = €2€6: p = 0,15€100: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,0228. Trova z con due decimali.
A = 0,0228
z =
6.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 80 % dei dati (il 80° percentile).
μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
7.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 elementi ha media 42,5 e deviazione standard s = 10. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 25x̄ = 42,5s = 1095%t(24) = 2,064
E =
8.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 28. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 4?
σ = 28E = 495%
n =
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
10 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 8,28 e la deviazione standard delle differenze è 9,7. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 8,28sd = 9,7
t =
10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 5 unità con una potenza del 80%. La deviazione standard è 18. Trova la dimensione minima del campione n.
α = 0,01potenza = 80%δ = 5σ = 18zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 5Σx = 30Σy = 286Σx² = 220Σy² = 16802Σxy = 1848
r =
12.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (2,5, 24). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 24)
e =
3Soluzioni
1.Statistica descrittiva
Risposta: s = 16,53
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Media
x̄ = 174/5 = 34,8
Scarti al quadrato
Σ(x − x̄)² = (−22,8)² + (−5,8)² + 16,2² + 16,2² + (−3,8)² = 1093
Deviazione standard
s = √(1093/4) = 16,53
Risposta
s = 16,53
2.Statistica descrittiva
Risposta: P = 0,9332
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,5
Tavola della normale standard
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Risposta
P = 0,9332
3.Probabilità
Risposta: Var(X) = 3,16
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,05 + 2·0,3 + 4·0,35 + 6·0,3 = 3,8
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,05 + 4·0,3 + 16·0,35 + 36·0,3 = 17,6
Varianza
Var(X) = 17,6 − 3,8² = 3,16
Risposta
Var(X) = 3,16
4.Probabilità
Risposta: E(G) = −0,1 €
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Esiti netti
G: 4 (p = 0,15), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)
Valore atteso
E(G) = 4·0,15 + 98·0,01 − 2·0,84 = −0,1 €
Risposta
E(G) = −0,1 €
Un valore negativo significa che in media perdi denaro.
5.Distribuzione normale
Risposta: z = 2
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,0228 = 0,9772
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9772 dentro la tabella e leggi z.
z = 2,00
Risposta
z = 2,00
6.Distribuzione normale
Risposta: x = 533,7 h
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Ritorno a x
x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h
Risposta
x = 533,66 h
7.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 4,128
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Margine di errore
E = 2,064·10/√25 = 4,128
Risposta
E = 4,128
8.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 189
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·28/4)² = 188,2
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 189
Risposta
n = 189
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,699
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard della differenza media
SE = 9,7/√10 = 3,067
Statistica test
t = 8,28/3,067 = 2,699
Risposta
t = 2,699
Con df = 9, il valore critico bilaterale al 5% è 2,262; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 131
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = ((2,326 + 0,842)·18/5)² = 130,1
Arrotonda per eccesso
n = 131
Risposta
n = 131
11.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9918
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 1848 − 30·286/5 = 132
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 16802 − 286²/5 = 442,8
Coefficiente di correlazione
r = 132/√(40·442,8) = 0,9918
Risposta
r = 0,9918
12.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 2,95
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Retta di regressione
b = −21/10 = −2,1
a = 20 − (−2,1)·3 = 26,3
ŷ = 26,3 − 2,1·x
Valore previsto
ŷ = 26,3 + (−2,1)·2,5 = 21,05
Residuo
e = 24 − 21,05 = 2,95
Risposta
e = 2,95
Il punto si trova sopra la retta.
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