Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 35, 38, 24, 28, 23, 50, 35.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è superiore a 65?

μ = 50σ = 12x = 65

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 3 persone da un gruppo di 6? L'ordine non conta.

n = 6k = 3

N =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 8 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?

n = 8p = 0,4k = 3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,2643. Trova z con due decimali.

A = 0,2643

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 10 elementi ha media 57 e deviazione standard s = 9. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 10x̄ = 57s = 995%t(9) = 2,262

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 20. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?

σ = 20E = 2,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si afferma che la media di una popolazione sia 500; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 7,5. Un campione casuale di 25 osservazioni ha media 498,44. Verifica H₀: μ = 500 contro H₁: μ ≠ 500. Trova il p-value p.

μ₀ = 500σ = 7,5n = 25x̄ = 498,44H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1? La deviazione standard è 20. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 20E = 195%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 16,5.

n = 6x = 16,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 9,376

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 233/7 = 33,29

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 1,714² + 4,714² + (−9,286)² + (−5,286)² + (−10,29)² + 16,71² + 1,714² = 527,4

Deviazione standard

s = √(527,4/6) = 9,376

Risposta

s = 9,376

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,1056

Standardizza

z = 1,25

Tavola della normale standard

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Risposta

P = 0,1056

3.Probabilità

Risposta: N = 20

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Risposta

N = 20

4.Probabilità

Risposta: P = 0,2787

Formula binomiale

P(X = 3) = 56·0,4³·0,6⁵ = 56·0,064·0,07776 = 0,2787

Risposta

P = 0,2787

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,63

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,2643 = 0,7357

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,7357 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,63

Risposta

z = 0,63

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 172,1 cm

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Ritorno a x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Risposta

x = 172,11 cm

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 50,56

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Margine di errore

E = 2,262·9/√10 = 6,438

Intervallo

57 ± 6,438 → [50,56, 63,44]

Risposta

limite inferiore = 50,56

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 246

Ricava n

n = (1,96·20/2,5)² = 245,9

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 246

Risposta

n = 246

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: p = 0,2983

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistica test

SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5

z = (498,44 − 500)/1,5 = −1,04

Area della coda

Φ(1,04) = 0,8508

1 − Φ(1,04) = 0,1492

p-value

p = 2·0,1492 = 0,2983

Risposta

p = 0,2983

p > 0,05, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5%.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 1537

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Ricava n

n = (1,96·20/1)² = 1537

Arrotonda per eccesso

n = 1537

Risposta

n = 1537

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9988

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 387/6 = 64,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 261

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 975,5

Coefficiente di correlazione

r = 261/√(70·975,5) = 0,9988

Risposta

r = 0,9988

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 45,91

Medie

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 415/6 = 69,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 610,5

Retta di regressione

b = 610,5/157,5 = 3,876

a = 69,17 − 3,876·22,5 = −18,05

ŷ = −18,05 + 3,876·x

Previsione

ŷ = −18,05 + 3,876·16,5 = 45,91

Risposta

ŷ = 45,91

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