Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 47, 49, 56, 53, 37.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è superiore a 75?

μ = 70σ = 5x = 75

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 7 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 7

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 11 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 11p = 0,5

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Le masse di sacchi di cemento sono indipendenti e normali con media 25 kg e deviazione standard 0,5 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 6 di essi superi 151,2 kg. Arrotonda z a due decimali.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6> 151,2 kg

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 75% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 15 elementi ha media 71,5 e deviazione standard s = 15. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 15x̄ = 71,5s = 1595%t(14) = 2,145

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 8. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?

σ = 8E = 0,599%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 75,94 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,94s = 5n = 81

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 5. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 5E = 2,590%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 7,266

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 242/5 = 48,4

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−1,4)² + 0,6² + 7,6² + 4,6² + (−11,4)² = 211,2

Deviazione standard

s = √(211,2/4) = 7,266

Risposta

s = 7,266

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,1587

Standardizza

z = 1

Tavola della normale standard

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Risposta

P = 0,1587

3.Probabilità

Risposta: P = 0,7209

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Risposta

P = 0,7209

4.Probabilità

Risposta: P = 0,005859

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,5¹¹ = 0,0004883

P(X = 1) = 11·0,5·0,5¹⁰ = 0,005371

Sommale

P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859

Risposta

P = 0,005859

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,1635

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione del totale

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Standardizza

z = (151,2 − 150)/1,225 = 0,98

Probabilità

P = 1 − Φ(0,98) = 0,1635

Risposta

P = 0,1635

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 246,7 g

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,25

z dalla tabella

z ≈ −0,67

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Risposta

x = 246,7 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 8,308

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Margine di errore

E = 2,145·15/√15 = 8,308

Risposta

E = 8,308

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 1699

Ricava n

n = (2,576·8/0,5)² = 1699

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 1699

Risposta

n = 1699

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 1,692

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Statistica test

t = (75,94 − 75)/0,5556 = 1,692

Risposta

t = 1,692

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 11

Ricava n

n = (1,645·5/2,5)² = 10,82

Arrotonda per eccesso

n = 11

Risposta

n = 11

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,8828

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 105/5 = 21

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 116

Coefficiente di determinazione

r² = −32²/(10·116) = 0,8828

Risposta

r² = 0,8828

Circa il 88,28% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 10,3

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 104/5 = 20,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

Retta di regressione

b = 140/40 = 3,5

a = 20,8 − 3,5·6 = −0,2

ŷ = −0,2 + 3,5·x

Previsione

ŷ = −0,2 + 3,5·3 = 10,3

Risposta

ŷ = 10,3

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