Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 52, 13, 35, 12, 15.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 60. Trova il punteggio z z di un voto pari a 575.

μ = 500σ = 60x = 575

z =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 9? L'ordine non conta.

n = 9k = 5

N =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 8 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 8p = 0,25

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 468 e 508 h? Dai P come numero decimale.

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 508

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 6 elementi ha media 53,5 e deviazione standard s = 15. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 6x̄ = 53,5s = 1595%t(5) = 2,571

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 16 parcelle, resa media 43,5 kg, deviazione standard 7,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 15 parcelle, media 41 kg, deviazione standard 5,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 16x̄₁ = 43,5s₁ = 7,5n₂ = 15x̄₂ = 41s₂ = 5,599%t(29) = 2,756

limite superiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 116,6 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,6s = 12n = 25

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale di H₀: μ = 50 contro H₁: μ < 50 viene eseguito con α = 0.10 su un campione di 25; la deviazione standard è nota e vale 5. In realtà la media è 48.4. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.

μ₀ = 50μ = 48,4σ = 5n = 25α = 0,10

β = %

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 138Σy = 823Σx² = 3244Σy² = 114707Σxy = 19278

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (2,5, 53). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 53)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 17,62

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 127/5 = 25,4

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 26,6² + (−12,4)² + 9,6² + (−13,4)² + (−10,4)² = 1241

Deviazione standard

s = √(1241/4) = 17,62

Risposta

s = 17,62

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 1,25

Standardizza

z = (575 − 500)/60 = 1,25

Risposta

z = 1,25

3.Probabilità

Risposta: N = 126

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126

Risposta

N = 126

4.Probabilità

Risposta: P = 0,3671

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,75⁸ = 0,1001

P(X = 1) = 8·0,25·0,75⁷ = 0,267

Sommale

P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671

Risposta

P = 0,3671

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,3674

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Area compresa

P = Φ(0,2) − Φ(−0,8) = 0,5793 − 0,2119 = 0,3674

Risposta

P = 0,3674

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 172,1 cm

z del percentile

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Ritorno a x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Risposta

x = 172,11 cm

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 69,24

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Margine di errore

E = 2,571·15/√6 = 15,74

Intervallo

53,5 ± 15,74 → [37,76, 69,24]

Risposta

limite superiore = 69,24

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 9,048 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Deviazione standard combinata

s_p² = (15·7,5² + 14·5,5²)/29 = 43,7

s_p = 6,61

Margine di errore

E = 2,756·6,61·√(1/16 + 1/15) = 6,548

Intervallo

2,5 ± 6,548 → [−4,048, 9,048]

Risposta

limite superiore = 9,048 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,417

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Statistica test

t = (116,6 − 120)/2,4 = −1,417

Risposta

t = −1,417

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: β = 37,52 %

Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media campionaria critica

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 50 − 1,282·1 = 48,72

z sotto la media vera

z = (48,72 − 48,4)/1 = 0,318

Errore di secondo tipo

potenza = P(Z < 0.318) = 62.48%

β = 100% − 62,48% = 37,52%

Risposta

β = 37,52%

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9781

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 19278 − 138·823/6 = 349

S_xx = 3244 − 138²/6 = 70

S_yy = 114707 − 823²/6 = 1819

Coefficiente di correlazione

r = 349/√(70·1819) = 0,9781

Risposta

r = 0,9781

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 2,881

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 329/6 = 54,83

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82,5

Retta di regressione

b = 82,5/17,5 = 4,714

a = 54,83 − 4,714·3,5 = 38,33

ŷ = 38,33 + 4,714·x

Valore previsto

ŷ = 38,33 + 4,714·2,5 = 50,12

Residuo

e = 53 − 50,12 = 2,881

Risposta

e = 2,881

Il punto si trova sopra la retta.

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