Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 42, 53, 26, 50, 54, 48, 53.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 79.

μ = 70σ = 15x = 79

z =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 3 palline rosse e 3 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

3 / 3

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 11 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 11p = 0,2

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 88 e 130,75 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 88x₂ = 130,75

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 75 % dei dati (il 75° percentile).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 30 elementi ha media 96 e deviazione standard s = 8. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 30x̄ = 96s = 890%t(29) = 1,699

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 24. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?

σ = 24E = 2,599%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 496,6 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 496,6s = 12n = 25

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 49 misure ha media 199,3. La deviazione standard della popolazione è 12. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.

x̄ = 199,3σ = 12n = 4995%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 15Σy = 259Σx² = 55Σy² = 13645Σxy = 823

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 9,964

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 326/7 = 46,57

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−4,571)² + 6,429² + (−20,57)² + 3,429² + 7,429² + 1,429² + 6,429² = 595,7

Deviazione standard

s = √(595,7/6) = 9,964

Risposta

s = 9,964

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 0,6

Standardizza

z = (79 − 70)/15 = 0,6

Risposta

z = 0,6

3.Probabilità

Risposta: P = 0,2

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0,2

Risposta

P = 0,2

4.Probabilità

Risposta: P = 0,3221

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,8¹¹ = 0,0859

P(X = 1) = 11·0,2·0,8¹⁰ = 0,2362

Sommale

P = 0,0859 + 0,2362 = 0,3221

Risposta

P = 0,3221

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,768

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (88 − 100)/15 = −0,8

z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05

Area compresa

P = Φ(2,05) − Φ(−0,8) = 0,9798 − 0,2119 = 0,768

Risposta

P = 0,768

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 527 h

z del percentile

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Ritorno a x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Risposta

x = 526,98 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 93,52

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Margine di errore

E = 1,699·8/√30 = 2,482

Intervallo

96 ± 2,482 → [93,52, 98,48]

Risposta

limite inferiore = 93,52

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 612

Ricava n

n = (2,576·24/2,5)² = 611,6

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 612

Risposta

n = 612

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,417

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Statistica test

t = (496,6 − 500)/2,4 = −1,417

Risposta

t = −1,417

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 202,7

Margine di errore

E = 1,96·12/√49 = 3,36

Limite dell'intervallo

U = 199,3 + 3,36 = 202,7

Risposta

U = 202,7

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9617

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 823 − 15·259/5 = 46

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 13645 − 259²/5 = 228,8

Coefficiente di correlazione

r = 46/√(10·228,8) = 0,9617

Risposta

r = 0,9617

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 47,4

Medie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 233/5 = 46,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 16

Retta di regressione

b = 16/10 = 1,6

a = 46,6 − 1,6·4 = 40,2

ŷ = 40,2 + 1,6·x

Previsione

ŷ = 40,2 + 1,6·4,5 = 47,4

Risposta

ŷ = 47,4

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