Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 14, 49, 59, 43, 48, 19.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 103,2.

μ = 100σ = 8x = 103,2

z =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 5 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 5

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 12 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 12p = 0,1

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,3688. Trova z con due decimali.

A = 0,3688

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 25% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 100 puntiσ = 15 punti25%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 13 elementi ha media 57,5 e deviazione standard s = 11. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 13x̄ = 57,5s = 1195%t(12) = 2,179

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 22. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?

σ = 22E = 0,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 79,5 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 79,5s = 15n = 64

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 49 misure ha media 119,1. La deviazione standard della popolazione è 5. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 119,1σ = 5n = 4999%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 30,5.

n = 6x = 30,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 18,01

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 232/6 = 38,67

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−24,67)² + 10,33² + 20,33² + 4,333² + 9,333² + (−19,67)² = 1621

Deviazione standard

s = √(1621/5) = 18,01

Risposta

s = 18,01

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 0,4

Standardizza

z = (103,2 − 100)/8 = 0,4

Risposta

z = 0,4

3.Probabilità

Risposta: P = 0,5981

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Risposta

P = 0,5981

4.Probabilità

Risposta: P = 0,659

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,9¹² = 0,2824

P(X = 1) = 12·0,1·0,9¹¹ = 0,3766

Sommale

P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659

Risposta

P = 0,659

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,48

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,3688)/2 = 0,6844

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,6844 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,48

Risposta

z = 0,48

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 90 punti

Area a sinistra

Φ(z) = 0,25

z dalla tabella

z ≈ −0,67

Di nuovo nelle unità originali

x = 100 − 0,67·15 = 90 punti

Risposta

x = 90 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 50,85

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Margine di errore

E = 2,179·11/√13 = 6,648

Intervallo

57,5 ± 6,648 → [50,85, 64,15]

Risposta

limite inferiore = 50,85

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 7438

Ricava n

n = (1,96·22/0,5)² = 7437

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 7438

Risposta

n = 7438

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,4

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Statistica test

t = (79,5 − 75)/1,875 = 2,4

Risposta

t = 2,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 120,9

Margine di errore

E = 2,576·5/√49 = 1,84

Limite dell'intervallo

U = 119,1 + 1,84 = 120,9

Risposta

U = 120,9

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9931

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 144/6 = 24

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 534

Coefficiente di correlazione

r = 192/√(70·534) = 0,9931

Risposta

r = 0,9931

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 97,95

Medie

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 454/6 = 75,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 585

Retta di regressione

b = 585/157,5 = 3,714

a = 75,67 − 3,714·24,5 = −15,33

ŷ = −15,33 + 3,714·x

Previsione

ŷ = −15,33 + 3,714·30,5 = 97,95

Risposta

ŷ = 97,95

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