Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 42, 25, 26, 24, 37.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 54,8?

μ = 50σ = 12x = 54,8

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 5 palline rosse e 8 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

5 / 8

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 11 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 11p = 0,7

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 78,25 e 107,5 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 78,25x₂ = 107,5

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le altezze degli uomini adulti sono distribuiti normalmente con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trascina la soglia in modo che il 25% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 40 telefoni, media 137 h, deviazione standard nota 11 h. Modello 2: 50 telefoni, media 143,5 h, deviazione standard nota 14 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 137 hσ₁ = 11 hn₂ = 50x̄₂ = 143,5 hσ₂ = 14 h95%

E = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Uno studio pilota indica che circa 0,15 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 90% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,05?

p ≈ 0,15E = 0,0590%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 10 studenti, punteggio medio 92,5, deviazione standard 2,5. Gruppo 2: 12 studenti, punteggio medio 95,5, deviazione standard 11,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 10x̄₁ = 92,5s₁ = 2,5n₂ = 12x̄₂ = 95,5s₂ = 11,5

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 105 pazienti su 300 con il trattamento A guariscono, e 21 su 100 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 105n₁ = 300x₂ = 21n₂ = 100

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 8.

n = 6x = 8

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 8,167

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 154/5 = 30,8

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 11,2² + (−5,8)² + (−4,8)² + (−6,8)² + 6,2² = 266,8

Deviazione standard

s = √(266,8/4) = 8,167

Risposta

s = 8,167

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,6554

Standardizza

z = 0,4

Tavola della normale standard

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Risposta

P = 0,6554

3.Probabilità

Risposta: P = 0,1282

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

Risposta

P = 0,1282

4.Probabilità

Risposta: P = 4,724 × 10⁻⁵

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,3¹¹ = 1,771 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 11·0,7·0,3¹⁰ = 4,547 × 10⁻⁵

Sommale

P = 1,771 × 10⁻⁶ + 4,547 × 10⁻⁵ = 4,724 × 10⁻⁵

Risposta

P = 4,724 × 10⁻⁵

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6179

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (78,25 − 100)/15 = −1,45

z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5

Area compresa

P = Φ(0,5) − Φ(−1,45) = 0,6915 − 0,07353 = 0,6179

Risposta

P = 0,6179

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 182,7 cm

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,75

z dalla tabella

z ≈ 0,67

Di nuovo nelle unità originali

x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm

Risposta

x = 182,7 cm

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 5,165 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 137 − 143,5 = −6,5

Errore standard

SE = √(11²/40 + 14²/50) = 2,635

Margine di errore

E = 1,96·2,635 = 5,165

Risposta

E = 5,165 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 139

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Ricava n

n = 1,645²·0,15·0,85/0,05² = 138

Arrotonda per eccesso

n = 139

Risposta

n = 139

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −0,8061

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (9·2,5² + 11·11,5²)/20 = 75,55

s_p = 8,692

Errore standard

SE = 8,692·√(1/10 + 1/12) = 3,722

Statistica test

t = (92,5 − 95,5)/3,722 = −0,8061

Risposta

t = −0,8061

Con df = 20, il valore critico bilaterale al 5% è 2,086; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 2,61

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 105/300 = 0,35

p̂₂ = 21/100 = 0,21

p̂ = 126/400 = 0,315

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,315·0,685·(1/300 + 1/100)) = 0,05364

Statistica test

z = (0,35 − 0,21)/0,05364 = 2,61

Risposta

z = 2,61

|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9949

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 104/5 = 20,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 426,8

Coefficiente di correlazione

r = 130/√(40·426,8) = 0,9949

Risposta

r = 0,9949

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 61,83

Medie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 371/6 = 61,83

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 185

Retta di regressione

b = 185/70 = 2,643

a = 61,83 − 2,643·8 = 40,69

ŷ = 40,69 + 2,643·x

Previsione

ŷ = 40,69 + 2,643·8 = 61,83

Risposta

ŷ = 61,83

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