Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 13, 40, 34, 43, 42.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è superiore a 45?

μ = 50σ = 5x = 45

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

X ha la distribuzione mostrata e Y = −2X − 3. Trova la deviazione standard σ_Y di Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,1, 0,15, 0,35, 0,1Y = −2X − 3

σ_Y =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,9236. Trova z con due decimali.

A = 0,9236

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,04 mm e deviazione standard 0,01 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,02 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 10 elementi ha media 13,5 e deviazione standard s = 3. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 10x̄ = 13,5s = 390%t(9) = 1,833

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 26. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 5?

σ = 26E = 590%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 14 studenti, punteggio medio 20, deviazione standard 5,5. Gruppo 2: 12 studenti, punteggio medio 18,5, deviazione standard 5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 14x̄₁ = 20s₁ = 5,5n₂ = 12x̄₂ = 18,5s₂ = 5

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 36 misure ha media 201,3. La deviazione standard della popolazione è 4. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.

x̄ = 201,3σ = 4n = 3695%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 30Σy = 100Σx² = 220Σy² = 2352Σxy = 718

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 70?

n = 6ŷ = 70

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 12,46

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 172/5 = 34,4

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−21,4)² + 5,6² + (−0,4)² + 8,6² + 7,6² = 621,2

Deviazione standard

s = √(621,2/4) = 12,46

Risposta

s = 12,46

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,8413

Standardizza

z = −1

Tavola della normale standard

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Risposta

P = 0,8413

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 1,41

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,7

Media dei quadrati

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,35 = 8,7

Varianza

Var(X) = 8,7 − 2,7² = 1,41

Risposta

Var(X) = 1,41

4.Probabilità

Risposta: σ_Y = 2,848

Dispersione di X

μ = 2,85, Var(X) = 2,027, σ_X = 1,424

Trasformazione lineare

σ_Y = |−2|·1,424 = 2,848

Risposta

σ_Y = 2,848

La media invece si sposta: E(Y) = −2·2,85 − 3 = −8,7.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = −1,43

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,9236 = 0,0764

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,0764 dentro la tabella e leggi z.

z = −1,43

Risposta

z = −1,43

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9633

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standardizza

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Probabilità

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Risposta

P = 0,9633

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 1,739

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Margine di errore

E = 1,833·3/√10 = 1,739

Risposta

E = 1,739

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 74

Ricava n

n = (1,645·26/5)² = 73,17

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 74

Risposta

n = 74

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 0,7226

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (13·5,5² + 11·5²)/24 = 27,84

s_p = 5,277

Errore standard

SE = 5,277·√(1/14 + 1/12) = 2,076

Statistica test

t = (20 − 18,5)/2,076 = 0,7226

Risposta

t = 0,7226

Con df = 24, il valore critico bilaterale al 5% è 2,064; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 200

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Margine di errore

E = 1,96·4/√36 = 1,307

Limite dell'intervallo

L = 201,3 − 1,307 = 200

Risposta

L = 200

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9944

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 718 − 30·100/5 = 118

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2352 − 100²/5 = 352

Coefficiente di correlazione

r = 118/√(40·352) = 0,9944

Risposta

r = 0,9944

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 3,023

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 540/6 = 90

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 352

Retta di regressione

b = 352/70 = 5,029

a = 90 − 5,029·7 = 54,8

ŷ = 54,8 + 5,029·x

Risolvi per x

x = (70 − 54,8)/5,029 = 3,023

Risposta

x = 3,023

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