Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 49, 57, 41, 41, 56.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 92,5.

μ = 100σ = 15x = 92,5

z =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 2 persone da un gruppo di 15? L'ordine non conta.

n = 15k = 2

N =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 11 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 11p = 0,25

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,9616. Trova z con due decimali.

A = 0,9616

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 10% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 36 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 2,6. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 72 osservazioni?

95%n₁ = 36E₁ = 2,6n₂ = 72

E₂ =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 12. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?

σ = 12E = 395%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 494,8 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 494,8s = 12n = 36

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 2 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 6. Trova la dimensione minima del campione n.

α = 0,05potenza = 90%δ = 2σ = 6z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 16?

n = 6ŷ = 16

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 7,759

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 244/5 = 48,8

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 0,2² + 8,2² + (−7,8)² + (−7,8)² + 7,2² = 240,8

Deviazione standard

s = √(240,8/4) = 7,759

Risposta

s = 7,759

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −0,5

Standardizza

z = (92,5 − 100)/15 = −0,5

Risposta

z = −0,5

3.Probabilità

Risposta: N = 105

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

Risposta

N = 105

4.Probabilità

Risposta: P = 0,1971

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,75¹¹ = 0,04224

P(X = 1) = 11·0,25·0,75¹⁰ = 0,1549

Sommale

P = 0,04224 + 0,1549 = 0,1971

Risposta

P = 0,1971

5.Distribuzione normale

Risposta: z = −1,77

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,9616 = 0,0384

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,0384 dentro la tabella e leggi z.

z = −1,77

Risposta

z = −1,77

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 551 h

Area a sinistra

Φ(z) = 0,9

z dalla tabella

z ≈ 1,28

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Risposta

x = 551 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 1,838

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(36/72) = 0,7071

Nuovo margine

E₂ = 2,6·0,7071 = 1,838

Risposta

E₂ = 1,838

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 62

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (1,96·12/3)² = 61,47

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 62

Risposta

n = 62

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2,6

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Statistica test

t = (494,8 − 500)/2 = −2,6

Risposta

t = −2,6

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 78

Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = ((1,645 + 1,282)·6/2)² = 77,11

Arrotonda per eccesso

n = 78

Risposta

n = 78

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9547

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 345/5 = 69

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 528

Coefficiente di determinazione

r² = 71²/(10·528) = 0,9547

Risposta

r² = 0,9547

Circa il 95,47% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 4,278

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 104/6 = 17,33

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Retta di regressione

b = −30/17,5 = −1,714

a = 17,33 − (−1,714)·3,5 = 23,33

ŷ = 23,33 − 1,714·x

Risolvi per x

x = (16 − 23,33)/(−1,714) = 4,278

Risposta

x = 4,278

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