Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 57, 15, 29, 21, 16, 47.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è superiore a 50,4?

μ = 60σ = 12x = 50,4

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 3 palline rosse e 9 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

3 / 9

P =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 2 €. Si vincono 8 € con probabilità 0,1 e 40 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €2€8: p = 0,1€40: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 70,75 e 103,75 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 70,75x₂ = 103,75

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le altezze degli uomini adulti sono distribuiti normalmente con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trascina la soglia in modo che il 30% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 7 elementi ha media 54 e deviazione standard s = 3. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 7x̄ = 54s = 390%t(6) = 1,943

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 10. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?

σ = 10E = 399%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si afferma che la media di una popolazione sia 100; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 4. Un campione casuale di 64 osservazioni ha media 99,07. Verifica H₀: μ = 100 contro H₁: μ < 100. Trova il p-value p.

μ₀ = 100σ = 4n = 64x̄ = 99,07H₁: μ < μ₀

p =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 72 pazienti su 120 con il trattamento A guariscono, e 55 su 80 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 72n₁ = 120x₂ = 55n₂ = 80

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 23?

n = 5ŷ = 23

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 17,42

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 185/6 = 30,83

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 26,17² + (−15,83)² + (−1,833)² + (−9,833)² + (−14,83)² + 16,17² = 1517

Deviazione standard

s = √(1517/5) = 17,42

Risposta

s = 17,42

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,7881

Standardizza

z = −0,8

Tavola della normale standard

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Risposta

P = 0,7881

3.Probabilità

Risposta: P = 0,04545

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0,04545

Risposta

P = 0,04545

4.Probabilità

Risposta: E(G) = −0,4 €

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Esiti netti

G: 6 (p = 0,1), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,88)

Valore atteso

E(G) = 6·0,1 + 38·0,02 − 2·0,88 = −0,4 €

Risposta

E(G) = −0,4 €

Un valore negativo significa che in media perdi denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,5731

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95

z₂ = (103,75 − 100)/15 = 0,25

Area compresa

P = Φ(0,25) − Φ(−1,95) = 0,5987 − 0,02559 = 0,5731

Risposta

P = 0,5731

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 181,6 cm

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,7

z dalla tabella

z ≈ 0,52

Di nuovo nelle unità originali

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

Risposta

x = 181,6 cm

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 2,203

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Margine di errore

E = 1,943·3/√7 = 2,203

Risposta

E = 2,203

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 74

Ricava n

n = (2,576·10/3)² = 73,73

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 74

Risposta

n = 74

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: p = 0,03144

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistica test

SE = σ/√n = 4/√64 = 0,5

z = (99,07 − 100)/0,5 = −1,86

Area della coda

Φ(1,86) = 0,9686

1 − Φ(1,86) = 0,0314

p-value

p = 0,03144

Risposta

p = 0,03144

p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −1,259

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 72/120 = 0,6

p̂₂ = 55/80 = 0,6875

p̂ = 127/200 = 0,635

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,635·0,365·(1/120 + 1/80)) = 0,06949

Statistica test

z = (0,6 − 0,6875)/0,06949 = −1,259

Risposta

z = −1,259

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9917

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 164/6 = 27,33

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 893,3

Coefficiente di correlazione

r = 248/√(70·893,3) = 0,9917

Risposta

r = 0,9917

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 3,4

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 118/5 = 23,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

Retta di regressione

b = −15/10 = −1,5

a = 23,6 − (−1,5)·3 = 28,1

ŷ = 28,1 − 1,5·x

Risolvi per x

x = (23 − 28,1)/(−1,5) = 3,4

Risposta

x = 3,4

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