Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 19, 25, 39, 20, 60, 13, 50.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 77,5?

μ = 100σ = 15x = 77,5

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,1, 0,15, 0,35, 0,05

σ =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 2 €. Si vincono 10 € con probabilità 0,1 e 100 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €2€10: p = 0,1€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 45,5 e 70 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 45,5x₂ = 70

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 13 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −1,5 e deviazione standard 7,8. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per la differenza media.

n = 13d̄ = −1,5s_d = 7,890%t(12) = 1,782

limite inferiore = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 15 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 10,4 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 14, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 5,629 e il 2,5% sopra 26,119.

n = 15s = 10,4 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 499,1 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,1s = 4n = 100

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 1 unità con una potenza del 80%. La deviazione standard è 6. Trova la dimensione minima del campione n.

α = 0,05potenza = 80%δ = 1σ = 6z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 25?

n = 6ŷ = 25

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 17,7

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 226/7 = 32,29

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−13,29)² + (−7,286)² + 6,714² + (−12,29)² + 27,71² + (−19,29)² + 17,71² = 1879

Deviazione standard

s = √(1879/6) = 17,7

Risposta

s = 17,7

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,06681

Standardizza

z = −1,5

Tavola della normale standard

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Risposta

P = 0,06681

3.Probabilità

Risposta: σ = 1,388

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,15 + 4·0,35 + 5·0,05 = 2,65

Media dei quadrati

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,15 + 16·0,35 + 25·0,05 = 8,95

Varianza

Var(X) = 8,95 − 2,65² = 1,927

σ = √1,927 = 1,388

Risposta

σ = 1,388

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 1 €

Esiti netti

G: 8 (p = 0,1), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,88)

Valore atteso

E(G) = 8·0,1 + 98·0,02 − 2·0,88 = 1 €

Risposta

E(G) = 1 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6659

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (45,5 − 65)/10 = −1,95

z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5

Area compresa

P = Φ(0,5) − Φ(−1,95) = 0,6915 − 0,02559 = 0,6659

Risposta

P = 0,6659

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 58,26 punti

z del percentile

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Ritorno a x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 punti

Risposta

x = 58,26 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = −5,355 mmHg

Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 12, t = 1,782

Margine di errore

E = 1,782·7,8/√13 = 3,855

Intervallo

−1,5 ± 3,855 → [−5,355, 2,355]

Risposta

limite inferiore = −5,355 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 16,4 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 14·10,4² = 1514

Limiti per σ²

1514/26,119 = 57,97

1514/5,629 = 269

Limite per σ

σ = √269 = 16,4 µm

Risposta

σ = 16,4 µm

Intervallo al 95% per σ: [7,614, 16,4] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2,25

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Statistica test

t = (499,1 − 500)/0,4 = −2,25

Risposta

t = −2,25

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 223

Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = ((1,645 + 0,842)·6/1)² = 222,7

Arrotonda per eccesso

n = 223

Risposta

n = 223

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9603

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 91,2

Coefficiente di correlazione

r = −29/√(10·91,2) = −0,9603

Risposta

r = −0,9603

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 7,296

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 145/6 = 24,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 197

Retta di regressione

b = 197/70 = 2,814

a = 24,17 − 2,814·7 = 4,467

ŷ = 4,467 + 2,814·x

Risolvi per x

x = (25 − 4,467)/2,814 = 7,296

Risposta

x = 7,296

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