極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (1 + 2/x)2x を求めなさい。小数で答えなさい。
f(x) = (1 + 2/x)2xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (1 − cos 2x)/(4x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = (3x + 5)3 とします。f′(2) を求めなさい。
f(x) = (3x + 5)3x = 2
f′(2) =
4.微分むずかしい
f(x) = 3x2 − 2x + 3 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = 3x2 − 2x + 3x = 3
b =
5.最適化ふつう
ふたと底のある円柱形の缶に 500 cm³ を入れなければなりません。使う金属の量は表面積の合計に比例します。 材料が最も少なくなる缶の高さ h を求めなさい。
V = 500 cm³
h = cm
6.最適化むずかしい
ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 70 − 0.1q ユーロ、費用は C(q) = 1600 + 30q ユーロです。 週の最大利益 P を求めなさい。
p = 70 − 0.1qC = 1600 + 30q
P = €
7.積分ふつう
y = √(2x) の下の x = 0 から x = 1 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（放物面体）の体積 V を求めなさい。
y = √(2x)0 ≤ x ≤ 1
V =
8.積分むずかしい
直線 y = 2x と放物線 y = x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。
y = 2xy = x²
V =
3溶液
1.極限
答え: L = 54.6
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
対数をとる
ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 + 2/x)
計算する
u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。
ln L = 2·2 = 4
対数をもとに戻す
L = e4 = 54.6
答え
L = 54.6
2.極限
答え: L = 0.5
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
2·sin 2x/(8x) → 0/0
2 回目の適用
4·cos 2x/8
x = 0 を代入する
L = 4/8 = 0.5
答え
L = 0.5
3.微分
答え: f′(2) = 1089
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
連鎖律
f′(x) = 3·(3x + 5)2·3
代入する
f′(2) = 3·112·3 = 1089
答え
f′(2) = 1089
4.微分
答え: b = −24
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(3) = 24
f′(x) = 6x − 2 → f′(3) = 16
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 24 − 16·3 = −24
答え
b = −24
5.最適化
答え: h = 8.603 cm
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
r の関数としての面積
h = 500/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1000/r
導関数をゼロとおく
A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0 なので、これは最小です。
4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4.301 cm
高さと面積
h = 500/(π·4.301²) = 2r = 8.603 cm
A = 2π·4.301² + 1000/4.301 = 348.7 cm²
答え
h = 8.603 cm
最も経済的なふたつきの缶は、高さと直径が等しくなります：h = 2r。
6.最適化
答え: P = 2400 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = (70 − 0.1q)·q − (1600 + 30q) = −0.1q2 + 40q − 1600
導関数をゼロとおく
P″(q) = −0.2 < 0 なので、これは最大です。
q = 40/0.2 = 200
価格と利益
p = 70 − 0.1·200 = €50
P = 40·200 − 0.1·200² − 1600 = €2400
答え
P = €2400
7.積分
答え: V = 3.142
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
円板法
V = π∫₀1 2x dx
積分する
V = π·2·1²/2 = 3.142
答え
V = 3.142
8.積分
答え: V = 13.4
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
交点
2x = 1x² → x = 0, x = 2
ワッシャー法
V = π∫₀2 ((2x)² − (1x²)²) dx
積分する
V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4.267 = 13.4
答え
V = 13.4
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