極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (−6x3 + 6x + 2)/(x3 + 2x + 1) を求めなさい。
f(x) = (−6x3 + 6x + 2)/(x3 + 2x + 1)x → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (e2x − 1 − 2x)/x² を求めなさい。
f(x) = (e2x − 1 − 2x)/x²x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x·e0.5x とします。f′(1.5) を求めなさい。
f(x) = x·e0.5xx = 1.5
f′(1.5) =
4.微分むずかしい
f(x) = x2 − 3x − 1 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = x2 − 3x − 1x = 3
b =
5.最適化ふつう
底面が正方形のふたのない箱に 108000 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。 高さ h を求めなさい。
V = 108000 cm³
h = cm
6.最適化むずかしい
ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 180 − 0.2q ユーロ、費用は C(q) = 10200 + 15q ユーロです。 利益が最大になる週の生産量 q を求めなさい。
p = 180 − 0.2qC = 10200 + 15q
q = 個
7.積分ふつう
y = √(4x) の下の x = 0 から x = 3 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（放物面体）の体積 V を求めなさい。
y = √(4x)0 ≤ x ≤ 3
V =
8.積分むずかしい
放物線 y = 1 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。
y = 1 − x²
A =
3溶液
1.極限
答え: L = −6
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
最高次の累乗で割る
(−6 + 6/x2 + 2/x3)/(1 + 2/x2 + 1/x3)
x → ∞ とする
L = −6/1 = −6
答え
L = −6
次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。
2.極限
答え: L = 2
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
(2·e2x − 2)/(2x) → 0/0
2 回目の適用
4·e2x/2
x = 0 を代入する
L = 4·1/2 = 2
答え
L = 2
3.微分
答え: f′(1.5) = 3.705
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則
f′(x) = u′v + uv′ = e0.5x·(1 + 0.5·x)
代入する
f′(1.5) = 2.117·(1 + 0.75) = 3.705
答え
f′(1.5) = 3.705
4.微分
答え: b = −10
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(3) = −1
f′(x) = 2x − 3 → f′(3) = 3
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − 3·3 = −10
答え
b = −10
5.最適化
答え: h = 30 cm
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての面積
S(x) = x² + 432000/x
導関数をゼロとおく
S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0 なので、これは最小です。
x³ = 216000 → x = 60 cm
高さと面積
h = 108000/60² = 30 cm
S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²
答え
h = 30 cm
最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。
6.最適化
答え: q = 412.5 個
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = (180 − 0.2q)·q − (10200 + 15q) = −0.2q2 + 165q − 10200
導関数をゼロとおく
P″(q) = −0.4 < 0 なので、これは最大です。
q = 165/0.4 = 412.5
価格と利益
p = 180 − 0.2·412.5 = €97.5
P = 165·412.5 − 0.2·412.5² − 10200 = €23831
答え
q = 412.5
7.積分
答え: V = 56.55
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
円板法
V = π∫₀3 4x dx
積分する
V = π·4·3²/2 = 56.55
答え
V = 56.55
8.積分
答え: A = 1.333
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
零点
1 − x² = 0 → x = ±1
積分する
A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333
答え
A = 1.333
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