極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (−3x2 − 5x − 8)/(x2 + 6x + 4) を求めなさい。
f(x) = (−3x2 − 5x − 8)/(x2 + 6x + 4)x → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (1 − cos 3x)/(3x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = (1 − cos 3x)/(3x²)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x·e−0.5x とします。f′(1.5) を求めなさい。
f(x) = x·e−0.5xx = 1.5
f′(1.5) =
4.微分むずかしい
f(x) = −x2 − 4x − 6 の x = 1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = −x2 − 4x − 6x = 1
b =
5.最適化ふつう
200 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €20、ほかの 3 辺は 1 m あたり €12 かかります。 総費用の最小値 C を求めなさい。
A = 200 m²€20/m€12/m
C = €
6.最適化むずかしい
ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 140 − 2q ユーロ、費用は C(q) = 100 + 105q ユーロです。 利益が最大になる週の生産量 q を求めなさい。
p = 140 − 2qC = 100 + 105q
q = 個
7.積分ふつう
y = √(2x) の下の x = 0 から x = 4 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（放物面体）の体積 V を求めなさい。
y = √(2x)0 ≤ x ≤ 4
V =
8.積分むずかしい
直線 y = 2x と放物線 y = 0.5x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。
y = 2xy = 0.5x²
V =
3溶液
1.極限
答え: L = −3
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
最高次の累乗で割る
(−3 + (−5)/x + (−8)/x2)/(1 + 6/x + 4/x2)
x → ∞ とする
L = −3/1 = −3
答え
L = −3
次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。
2.極限
答え: L = 1.5
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
3·sin 3x/(6x) → 0/0
2 回目の適用
9·cos 3x/6
x = 0 を代入する
L = 9/6 = 1.5
答え
L = 1.5
3.微分
答え: f′(1.5) = 0.1181
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則
f′(x) = u′v + uv′ = e−0.5x·(1 + (−0.5)·x)
代入する
f′(1.5) = 0.4724·(1 + (−0.75)) = 0.1181
答え
f′(1.5) = 0.1181
4.微分
答え: b = −5
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(1) = −11
f′(x) = −2x − 4 → f′(1) = −6
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −11 − (−6)·1 = −5
答え
b = −5
5.最適化
答え: C = 783.8 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての費用
C(x) = 32x + 4800/x
導関数をゼロとおく
C″(x) = 9600/x³ > 0 なので、これは最小です。
x = √(4800/32) = 12.25 m
y = 200/12.25 = 16.33 m
最小費用
C = 32·12.25 + 4800/12.25 = €783.8
答え
C = €783.8
6.最適化
答え: q = 8.75 個
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = (140 − 2q)·q − (100 + 105q) = −2q2 + 35q − 100
導関数をゼロとおく
P″(q) = −4 < 0 なので、これは最大です。
q = 35/4 = 8.75
価格と利益
p = 140 − 2·8.75 = €122.5
P = 35·8.75 − 2·8.75² − 100 = €53.13
答え
q = 8.75
7.積分
答え: V = 50.27
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
円板法
V = π∫₀4 2x dx
積分する
V = π·2·4²/2 = 50.27
答え
V = 50.27
8.積分
答え: V = 107.2
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
交点
2x = 0.5x² → x = 0, x = 4
ワッシャー法
V = π∫₀4 ((2x)² − (0.5x²)²) dx
積分する
V = π(4·4³/3 − 0.25·4⁵/5) = π·34.13 = 107.2
答え
V = 107.2
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