極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (√(4x2 − 5x) − 2x) を求めなさい。
f(x) = √(4x2 − 5x) − 2xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (ex − 1 − x)/x² を求めなさい。
f(x) = (ex − 1 − x)/x²x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x3·ex とします。f′(1) を求めなさい。
f(x) = x3·exx = 1
f′(1) =
4.微分むずかしい
f(x) = x3 + 7.5x2 + 12x + 5 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 + 7.5x2 + 12x + 5
x =
5.最適化ふつう
300 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €40、ほかの 3 辺は 1 m あたり €8 かかります。 総費用の最小値 C を求めなさい。
A = 300 m²€40/m€8/m
C = €
6.最適化むずかしい
ある劇場では 1 公演あたり 780 枚のチケットを 1 枚 €20 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 20 枚減ります（€1 下げるごとに 20 枚増えます）。 1 公演あたりの最大売上高 R を求めなさい。
780 × €2020 / €1
R = €
7.積分ふつう
I = ∫₀1 x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。
∫₀1 x·cos x dx
I =
8.積分むずかしい
直線 y = 4x と放物線 y = 2x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。
y = 4xy = 2x²
V =
3溶液
1.極限
答え: L = −1.25
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
共役な式を掛ける
f(x) = −5x/(√(4x2 − 5x) + 2x)
x で割る
f(x) = −5/(√(4 + (−5)/x) + 2)
x → ∞ とする
L = −5/(2 + 2) = −1.25
答え
L = −1.25
2.極限
答え: L = 0.5
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
(1·ex − 1)/(2x) → 0/0
2 回目の適用
1·ex/2
x = 0 を代入する
L = 1·1/2 = 0.5
答え
L = 0.5
3.微分
答え: f′(1) = 10.87
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則
f′(x) = u′v + uv′ = ex·(3x2 + 1·x3)
代入する
f′(1) = 2.718·(3 + 1) = 10.87
答え
f′(1) = 10.87
4.微分
答え: x = −1
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 + 15x + 12 = 3·(x2 + 5x + 4)
f′(x) = 0 を解く
x = −4 または x = −1
どちらがどちらか
f″(x) = 6x + 15：極大では負、極小では正。
f″(−4) = −9, f″(−1) = 9
x = −1
答え
x = −1
5.最適化
答え: C = 960 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての費用
C(x) = 48x + 4800/x
導関数をゼロとおく
C″(x) = 9600/x³ > 0 なので、これは最小です。
x = √(4800/48) = 10 m
y = 300/10 = 30 m
最小費用
C = 48·10 + 4800/10 = €960
答え
C = €960
6.最適化
答え: R = 17405 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
価格の関数としての売上高
n(p) = 1180 − 20p
R(p) = 1180p − 20p²
導関数をゼロとおく
R″(p) = −40 < 0 なので、これは最大です。
p = 1180/40 = €29.5
最大売上高
n = 1180 − 20·29.5 = 590
R = 29.5·590 = €17405
答え
R = €17405
7.積分
答え: I = 0.3818
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
u と dv を選ぶ
u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x
原始関数
∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x
極限
(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0.3818
答え
I = 0.3818
8.積分
答え: V = 53.62
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
交点
4x = 2x² → x = 0, x = 2
ワッシャー法
V = π∫₀2 ((4x)² − (2x²)²) dx
積分する
V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17.07 = 53.62
答え
V = 53.62
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