極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (x2 + 6x − 9)/(x2 + 6x + 1) を求めなさい。
f(x) = (x2 + 6x − 9)/(x2 + 6x + 1)x → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x·sin(x)（x はラジアン）とします。f′(2) を求めなさい。
f(x) = x·sin(x)x = 2 rad
f′(2) =
4.微分むずかしい
f(x) = x3 − 12x − 2 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 − 12x − 2
x =
5.最適化ふつう
底面が正方形のふたのない箱に 13500 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。 表面積の最小値 S を求めなさい。
V = 13500 cm³
S = cm²
6.最適化むずかしい
ある劇場では 1 公演あたり 1760 枚のチケットを 1 枚 €25 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 40 枚減ります（€1 下げるごとに 40 枚増えます）。 1 公演あたりの最大売上高 R を求めなさい。
1760 × €2540 / €1
R = €
7.積分ふつう
I = ∫₀π/2 x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。
∫₀π/2 x·cos x dx
I =
8.積分むずかしい
I = ∫₀0.5 x²·eˣ dx を計算しなさい。
∫₀0.5 x²eˣ dx
I =
3溶液
1.極限
答え: L = 1
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
最高次の累乗で割る
(1 + 6/x + (−9)/x2)/(1 + 6/x + 1/x2)
x → ∞ とする
L = 1/1 = 1
答え
L = 1
次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。
2.極限
答え: L = 3
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
ロピタルの定理
L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]
x = 0 を代入する
L = 3/1 = 3
答え
L = 3
3.微分
答え: f′(2) = 0.077
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則と連鎖律
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
代入する
f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077
答え
f′(2) = 0.077
4.微分
答え: x = −2
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 − 12 = 3·(x2 − 4)
f′(x) = 0 を解く
x = −2 または x = 2
どちらがどちらか
f″(x) = 6x：極大では負、極小では正。
f″(−2) = −12, f″(2) = 12
x = −2
答え
x = −2
5.最適化
答え: S = 2700 cm²
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての面積
S(x) = x² + 54000/x
導関数をゼロとおく
S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0 なので、これは最小です。
x³ = 27000 → x = 30 cm
高さと面積
h = 13500/30² = 15 cm
S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²
答え
S = 2700 cm²
最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。
6.最適化
答え: R = 47610 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
価格の関数としての売上高
n(p) = 2760 − 40p
R(p) = 2760p − 40p²
導関数をゼロとおく
R″(p) = −80 < 0 なので、これは最大です。
p = 2760/80 = €34.5
最大売上高
n = 2760 − 40·34.5 = 1380
R = 34.5·1380 = €47610
答え
R = €47610
7.積分
答え: I = 0.5708
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
u と dv を選ぶ
u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x
原始関数
∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x
極限
(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0.5708
答え
I = 0.5708
8.積分
答え: I = 0.0609
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
1 回目
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
2 回目
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
極限
1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609
答え
I = 0.0609
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