極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (√(x2 − 9x) − x) を求めなさい。
f(x) = √(x2 − 9x) − xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(4x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = ln(1 + 3x)/sin(4x)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x·sin(3x)（x はラジアン）とします。f′(1.5) を求めなさい。
f(x) = x·sin(3x)x = 1.5 rad
f′(1.5) =
4.微分むずかしい
f(x) = x3 − 4.5x2 + 6x + 6 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 − 4.5x2 + 6x + 6
x =
5.最適化ふつう
800 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €25、ほかの 3 辺は 1 m あたり €12 かかります。 総費用の最小値 C を求めなさい。
A = 800 m²€25/m€12/m
C = €
6.最適化むずかしい
ある劇場では 1 公演あたり 2200 枚のチケットを 1 枚 €20 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 50 枚減ります（€1 下げるごとに 50 枚増えます）。 売上高が最大になるチケット価格 p を求めなさい。
2200 × €2050 / €1
p = €
7.積分ふつう
I = ∫01 2x·(x² + 1)1 dx を計算しなさい。
f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 1]
I =
8.積分むずかしい
I = ∫₀1 x²·eˣ dx を計算しなさい。
∫₀1 x²eˣ dx
I =
3溶液
1.極限
答え: L = −4.5
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
共役な式を掛ける
f(x) = −9x/(√(x2 − 9x) + x)
x で割る
f(x) = −9/(√(1 + (−9)/x) + 1)
x → ∞ とする
L = −9/(1 + 1) = −4.5
答え
L = −4.5
2.極限
答え: L = 0.75
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
ロピタルの定理
L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[4·cos 4x]
x = 0 を代入する
L = 3/4 = 0.75
答え
L = 0.75
3.微分
答え: f′(1.5) = −1.926
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則と連鎖律
f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)
代入する
f′(1.5) = −0.9775 + 4.5·(−0.2108) = −1.926
答え
f′(1.5) = −1.926
4.微分
答え: x = 1
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 − 9x + 6 = 3·(x2 − 3x + 2)
f′(x) = 0 を解く
x = 1 または x = 2
どちらがどちらか
f″(x) = 6x − 9：極大では負、極小では正。
f″(1) = −3, f″(2) = 3
x = 1
答え
x = 1
5.最適化
答え: C = 1686 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての費用
C(x) = 37x + 19200/x
導関数をゼロとおく
C″(x) = 38400/x³ > 0 なので、これは最小です。
x = √(19200/37) = 22.78 m
y = 800/22.78 = 35.12 m
最小費用
C = 37·22.78 + 19200/22.78 = €1686
答え
C = €1686
6.最適化
答え: p = 32 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
価格の関数としての売上高
n(p) = 3200 − 50p
R(p) = 3200p − 50p²
導関数をゼロとおく
R″(p) = −100 < 0 なので、これは最大です。
p = 3200/100 = €32
最大売上高
n = 3200 − 50·32 = 1600
R = 32·1600 = €51200
答え
p = €32
7.積分
答え: I = 1.5
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
置換積分
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u1 du
積分して代入する
I = [u2/2]12 = (4 − 1)/2 = 1.5
答え
I = 1.5
8.積分
答え: I = 0.7183
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
1 回目
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
2 回目
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
極限
2.718·(1) − 1·2 = 0.7183
答え
I = 0.7183
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1