微分積分学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^2x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 + 2/x)^2xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(4x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 5x)/(4x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = (−2x + 5)⁵ とします。f′(−1) を求めなさい。

f(x) = (−2x + 5)⁵x = −1

f′(−1) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 10.5x² + 36x − 4 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 10.5x² + 36x − 4

x =

5.最適化ふつう

800 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €40、ほかの 3 辺は 1 m あたり €10 かかります。総費用の最小値 C を求めなさい。

A = 800 m²€40/m€10/m

C = €

6.最適化むずかしい

ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 90 − 2q ユーロ、費用は C(q) = 300 + 15q ユーロです。利益が最大になる週の生産量 q を求めなさい。

p = 90 − 2qC = 300 + 15q

q = 個

7.積分ふつう

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx を計算しなさい。

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

8.積分むずかしい

放物線 y = 1 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 1 − x²

A =

3溶液

1.極限

答え: L = 54.6

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 2/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 2·2 = 4

対数をもとに戻す

L = e⁴ = 54.6

答え

L = 54.6

2.極限

答え: L = 3.125

1 回目の適用

5·sin 5x/(8x) → 0/0

2 回目の適用

25·cos 5x/8

x = 0 を代入する

L = 25/8 = 3.125

答え

L = 3.125

3.微分

答え: f′(−1) = −24010

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 5·(−2x + 5)⁴·(−2)

代入する

f′(−1) = 5·7⁴·(−2) = −24010

答え

f′(−1) = −24010

4.微分

答え: x = 4

導関数

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

f′(x) = 0 を解く

x = 3 または x = 4

どちらがどちらか

f″(x) = 6x − 21：極大では負、極小では正。

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 4

答え

x = 4

5.最適化

答え: C = 1789 €

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての費用

C(x) = 50x + 16000/x

導関数をゼロとおく

C″(x) = 32000/x³ > 0 なので、これは最小です。

x = √(16000/50) = 17.89 m

y = 800/17.89 = 44.72 m

最小費用

C = 50·17.89 + 16000/17.89 = €1789

答え

C = €1789

6.最適化

答え: q = 18.75 個

利益関数

P(q) = (90 − 2q)·q − (300 + 15q) = −2q² + 75q − 300

導関数をゼロとおく

P″(q) = −4 < 0 なので、これは最大です。

q = 75/4 = 18.75

価格と利益

p = 90 − 2·18.75 = €52.5

P = 75·18.75 − 2·18.75² − 300 = €403.1

答え

q = 18.75

7.積分

答え: I = 3.75

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

置換積分

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

積分して代入する

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3.75

答え

I = 3.75

8.積分

答え: A = 1.333

零点

1 − x² = 0 → x = ±1

積分する

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

答え

A = 1.333

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