極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (1 − 2/x)2x を求めなさい。小数で答えなさい。
f(x) = (1 − 2/x)2xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (1 − cos 2x)/(3x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x·e−x とします。f′(0.5) を求めなさい。
f(x) = x·e−xx = 0.5
f′(0.5) =
4.微分むずかしい
f(x) = x3 − 1.5x2 − 6x + 4 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 − 1.5x2 − 6x + 4
x =
5.最適化ふつう
600 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €20、ほかの 3 辺は 1 m あたり €8 かかります。 総費用の最小値 C を求めなさい。
A = 600 m²€20/m€8/m
C = €
6.最適化むずかしい
ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 60 − 0.25q ユーロ、費用は C(q) = 1000 + 15q ユーロです。 利益が最大になる価格 p を求めなさい。
p = 60 − 0.25qC = 1000 + 15q
p = €
7.積分ふつう
y = x の下の x = 0 から x = 3 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。
y = x0 ≤ x ≤ 3
V =
8.積分むずかしい
直線 y = 4x と放物線 y = x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。
y = 4xy = x²
V =
3溶液
1.極限
答え: L = 0.01832
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
対数をとる
ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 − 2/x)
計算する
u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。
ln L = 2·(−2) = −4
対数をもとに戻す
L = e−4 = 0.01832
答え
L = 0.01832
2.極限
答え: L = 0.6667
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
2·sin 2x/(6x) → 0/0
2 回目の適用
4·cos 2x/6
x = 0 を代入する
L = 4/6 = 0.6667
答え
L = 0.6667
3.微分
答え: f′(0.5) = 0.3033
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則
f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(1 + (−1)·x)
代入する
f′(0.5) = 0.6065·(1 + (−0.5)) = 0.3033
答え
f′(0.5) = 0.3033
4.微分
答え: x = −1
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 − 3x − 6 = 3·(x2 − x − 2)
f′(x) = 0 を解く
x = −1 または x = 2
どちらがどちらか
f″(x) = 6x − 3：極大では負、極小では正。
f″(−1) = −9, f″(2) = 9
x = −1
答え
x = −1
5.最適化
答え: C = 1037 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての費用
C(x) = 28x + 9600/x
導関数をゼロとおく
C″(x) = 19200/x³ > 0 なので、これは最小です。
x = √(9600/28) = 18.52 m
y = 600/18.52 = 32.4 m
最小費用
C = 28·18.52 + 9600/18.52 = €1037
答え
C = €1037
6.最適化
答え: p = 37.5 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = (60 − 0.25q)·q − (1000 + 15q) = −0.25q2 + 45q − 1000
導関数をゼロとおく
P″(q) = −0.5 < 0 なので、これは最大です。
q = 45/0.5 = 90
価格と利益
p = 60 − 0.25·90 = €37.5
P = 45·90 − 0.25·90² − 1000 = €1025
答え
p = €37.5
7.積分
答え: V = 28.27
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
円板法
V = π∫₀3 1x² dx
積分する
V = π·1·3³/3 = 28.27
答え
V = 28.27
確認：半径 3、高さ 3 の円錐は (1/3)πr²h = 28.27 です。
8.積分
答え: V = 428.9
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
交点
4x = 1x² → x = 0, x = 4
ワッシャー法
V = π∫₀4 ((4x)² − (1x²)²) dx
積分する
V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136.5 = 428.9
答え
V = 428.9
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