極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (1 − 2/x)x を求めなさい。小数で答えなさい。
f(x) = (1 − 2/x)xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x² を求めなさい。
f(x) = (e−x − 1 + x)/x²x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = (4x + 3)4 とします。f′(−1) を求めなさい。
f(x) = (4x + 3)4x = −1
f′(−1) =
4.微分むずかしい
f(x) = x3 − 3x2 − 4 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 − 3x2 − 4
x =
5.最適化ふつう
底面が正方形のふたのない箱に 500 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。 表面積の最小値 S を求めなさい。
V = 500 cm³
S = cm²
6.最適化むずかしい
ある小企業は製品を 1 個あたり €50 の一定の市場価格で販売しています。q 個を生産する費用は C(q) = 11600 + 16q + 0.01q² ユーロです。 最大利益 P を求めなさい。
p = €50C = 11600 + 16q + 0.01q²
P = €
7.積分ふつう
I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx を計算しなさい。
f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 1]
I =
8.積分むずかしい
y = 0.5x2 と y = x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。
y = 0.5x2y = x
A =
3溶液
1.極限
答え: L = 0.1353
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
対数をとる
ln L = limx→∞ x·ln(1 − 2/x)
計算する
u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。
ln L = 1·(−2) = −2
対数をもとに戻す
L = e−2 = 0.1353
答え
L = 0.1353
2.極限
答え: L = 0.5
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
(−1·e−x + 1)/(2x) → 0/0
2 回目の適用
1·e−x/2
x = 0 を代入する
L = 1·1/2 = 0.5
答え
L = 0.5
3.微分
答え: f′(−1) = −16
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
連鎖律
f′(x) = 4·(4x + 3)3·4
代入する
f′(−1) = 4·(−1)3·4 = −16
答え
f′(−1) = −16
4.微分
答え: x = 2
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 − 6x = 3·(x2 − 2x)
f′(x) = 0 を解く
x = 0 または x = 2
どちらがどちらか
f″(x) = 6x − 6：極大では負、極小では正。
f″(0) = −6, f″(2) = 6
x = 2
答え
x = 2
5.最適化
答え: S = 300 cm²
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての面積
S(x) = x² + 2000/x
導関数をゼロとおく
S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0 なので、これは最小です。
x³ = 1000 → x = 10 cm
高さと面積
h = 500/10² = 5 cm
S = 10² + 2000/10 = 300 cm²
答え
S = 300 cm²
最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。
6.最適化
答え: P = 17300 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = 50q − (11600 + 16q + 0.01q²) = −0.01q2 + 34q − 11600
導関数をゼロとおく
P″(q) = −0.02 < 0 なので、これは最大です。
34 − 0.02q = 0 → q = 1700
最大利益
P = 34·1700 − 0.01·1700² − 11600 = €17300
答え
P = €17300
7.積分
答え: I = 2.333
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
置換積分
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u2 du
積分して代入する
I = [u3/3]12 = (8 − 1)/3 = 2.333
答え
I = 2.333
8.積分
答え: A = 0.6667
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
交点
0.5x2 = x → x = 0, x = 2
上から下を引いて積分する
A = [0.5x2 − 0.1667x3]02 = 0.6667
答え
A = 0.6667
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