極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (√(9x2 + 2x) − 3x) を求めなさい。
f(x) = √(9x2 + 2x) − 3xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x·sin(3x)（x はラジアン）とします。f′(0.5) を求めなさい。
f(x) = x·sin(3x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
4.微分むずかしい
f(x) = x3 − 12x2 + 45x + 1 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 − 12x2 + 45x + 1
x =
5.最適化ふつう
底面が正方形のふたのない箱に 4000 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。 高さ h を求めなさい。
V = 4000 cm³
h = cm
6.最適化むずかしい
ある小企業は製品を 1 個あたり €20 の一定の市場価格で販売しています。q 個を生産する費用は C(q) = 600 + 6q + 0.05q² ユーロです。 最大利益 P を求めなさい。
p = €20C = 600 + 6q + 0.05q²
P = €
7.積分ふつう
y = 0.5x の下の x = 0 から x = 3 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。
y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3
V =
8.積分むずかしい
y = 2x2 と y = 3x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。
y = 2x2y = 3x
A =
3溶液
1.極限
答え: L = 0.3333
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
共役な式を掛ける
f(x) = 2x/(√(9x2 + 2x) + 3x)
x で割る
f(x) = 2/(√(9 + 2/x) + 3)
x → ∞ とする
L = 2/(3 + 3) = 0.3333
答え
L = 0.3333
2.極限
答え: L = 0.6667
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
ロピタルの定理
L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]
x = 0 を代入する
L = 2/3 = 0.6667
答え
L = 0.6667
3.微分
答え: f′(0.5) = 1.104
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則と連鎖律
f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)
代入する
f′(0.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104
答え
f′(0.5) = 1.104
4.微分
答え: x = 3
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 − 24x + 45 = 3·(x2 − 8x + 15)
f′(x) = 0 を解く
x = 3 または x = 5
どちらがどちらか
f″(x) = 6x − 24：極大では負、極小では正。
f″(3) = −6, f″(5) = 6
x = 3
答え
x = 3
5.最適化
答え: h = 10 cm
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての面積
S(x) = x² + 16000/x
導関数をゼロとおく
S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0 なので、これは最小です。
x³ = 8000 → x = 20 cm
高さと面積
h = 4000/20² = 10 cm
S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²
答え
h = 10 cm
最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。
6.最適化
答え: P = 380 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = 20q − (600 + 6q + 0.05q²) = −0.05q2 + 14q − 600
導関数をゼロとおく
P″(q) = −0.1 < 0 なので、これは最大です。
14 − 0.1q = 0 → q = 140
最大利益
P = 14·140 − 0.05·140² − 600 = €380
答え
P = €380
7.積分
答え: V = 7.069
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
円板法
V = π∫₀3 0.25x² dx
積分する
V = π·0.25·3³/3 = 7.069
答え
V = 7.069
確認：半径 1.5、高さ 3 の円錐は (1/3)πr²h = 7.069 です。
8.積分
答え: A = 1.125
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
交点
2x2 = 3x → x = 0, x = 1.5
上から下を引いて積分する
A = [1.5x2 − 0.6667x3]01.5 = 1.125
答え
A = 1.125
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