極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (−4x2 + 3x − 7)/(4x2 + 6x + 4) を求めなさい。
f(x) = (−4x2 + 3x − 7)/(4x2 + 6x + 4)x → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (1 − cos 5x)/(3x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x3·e−x とします。f′(1.5) を求めなさい。
f(x) = x3·e−xx = 1.5
f′(1.5) =
4.微分むずかしい
f(x) = 3x2 − 3x − 5 の x = 2 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = 3x2 − 3x − 5x = 2
b =
5.最適化ふつう
ふたと底のある円柱形の缶に 400 cm³ を入れなければなりません。使う金属の量は表面積の合計に比例します。 材料が最も少なくなる缶の高さ h を求めなさい。
V = 400 cm³
h = cm
6.最適化むずかしい
ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 140 − 0.1q ユーロ、費用は C(q) = 8000 + 60q ユーロです。 利益が最大になる価格 p を求めなさい。
p = 140 − 0.1qC = 8000 + 60q
p = €
7.積分ふつう
I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx を計算しなさい。
f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 1]
I =
8.積分むずかしい
I = ∫₀1 x²·eˣ dx を計算しなさい。
∫₀1 x²eˣ dx
I =
3溶液
1.極限
答え: L = −1
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
最高次の累乗で割る
(−4 + 3/x + (−7)/x2)/(4 + 6/x + 4/x2)
x → ∞ とする
L = −4/4 = −1
答え
L = −1
次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。
2.極限
答え: L = 4.167
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
5·sin 5x/(6x) → 0/0
2 回目の適用
25·cos 5x/6
x = 0 を代入する
L = 25/6 = 4.167
答え
L = 4.167
3.微分
答え: f′(1.5) = 0.7531
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則
f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)
代入する
f′(1.5) = 0.2231·(6.75 + (−3.375)) = 0.7531
答え
f′(1.5) = 0.7531
4.微分
答え: b = −17
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(2) = 1
f′(x) = 6x − 3 → f′(2) = 9
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − 9·2 = −17
答え
b = −17
5.最適化
答え: h = 7.986 cm
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
r の関数としての面積
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
導関数をゼロとおく
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0 なので、これは最小です。
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm
高さと面積
h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm
A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²
答え
h = 7.986 cm
最も経済的なふたつきの缶は、高さと直径が等しくなります：h = 2r。
6.最適化
答え: p = 100 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = (140 − 0.1q)·q − (8000 + 60q) = −0.1q2 + 80q − 8000
導関数をゼロとおく
P″(q) = −0.2 < 0 なので、これは最大です。
q = 80/0.2 = 400
価格と利益
p = 140 − 0.1·400 = €100
P = 80·400 − 0.1·400² − 8000 = €8000
答え
p = €100
7.積分
答え: I = 3.75
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
置換積分
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u3 du
積分して代入する
I = [u4/4]12 = (16 − 1)/4 = 3.75
答え
I = 3.75
8.積分
答え: I = 0.7183
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
1 回目
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
2 回目
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
極限
2.718·(1) − 1·2 = 0.7183
答え
I = 0.7183
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