微分積分学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^2x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 + 2/x)^2xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(4x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(4x)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = ln(x² + 1) とします。f′(−2) を求めなさい。

f(x) = ln(x² + 1)x = −2

f′(−2) =

4.微分むずかしい

f(x) = 2x² + 3x − 3 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 2x² + 3x − 3x = 3

b =

5.最適化ふつう

底面が正方形のふたのない箱に 62500 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。表面積の最小値 S を求めなさい。

V = 62500 cm³

S = cm²

6.最適化むずかしい

ある小企業は製品を 1 個あたり €25 の一定の市場価格で販売しています。q 個を生産する費用は C(q) = 1100 + 10q + 0.02q² ユーロです。利益が最大になる生産量 q を求めなさい。

p = €25C = 1100 + 10q + 0.02q²

q = 個

7.積分ふつう

y = √(4x) の下の x = 0 から x = 2 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（放物面体）の体積 V を求めなさい。

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 2

V =

8.積分むずかしい

放物線 y = 9 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 9 − x²

A =

3溶液

1.極限

答え: L = 54.6

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 2/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 2·2 = 4

対数をもとに戻す

L = e⁴ = 54.6

答え

L = 54.6

2.極限

答え: L = 0.75

ロピタルの定理

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[4·cos 4x]

x = 0 を代入する

L = 3/4 = 0.75

答え

L = 0.75

3.微分

答え: f′(−2) = −0.8

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

対数の連鎖律

f′(x) = 2x/(x² + 1)

代入する

f′(−2) = −4/5 = −0.8

答え

f′(−2) = −0.8

4.微分

答え: b = −21

接点と傾き

f(3) = 24

f′(x) = 4x + 3 → f′(3) = 15

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 24 − 15·3 = −21

答え

b = −21

5.最適化

答え: S = 7500 cm²

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての面積

S(x) = x² + 250000/x

導関数をゼロとおく

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0 なので、これは最小です。

x³ = 125000 → x = 50 cm

高さと面積

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

答え

S = 7500 cm²

最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。

6.最適化

答え: q = 375 個

利益関数

P(q) = 25q − (1100 + 10q + 0.02q²) = −0.02q² + 15q − 1100

導関数をゼロとおく

P″(q) = −0.04 < 0 なので、これは最大です。

15 − 0.04q = 0 → q = 375

最大利益

P = 15·375 − 0.02·375² − 1100 = €1713

答え

q = 375

7.積分

答え: V = 25.13

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀² 4x dx

積分する

V = π·4·2²/2 = 25.13

答え

V = 25.13

8.積分

答え: A = 36

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

零点

9 − x² = 0 → x = ±3

積分する

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

答え

A = 36

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