微分積分学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (√(9x² − 7x) − 3x) を求めなさい。

f(x) = √(9x² − 7x) − 3xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x² を求めなさい。

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x·sin(2x)（x はラジアン）とします。f′(1) を求めなさい。

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 12x − 6 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 12x − 6

x =

5.最適化ふつう

200 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €20、ほかの 3 辺は 1 m あたり €8 かかります。総費用の最小値 C を求めなさい。

A = 200 m²€20/m€8/m

C = €

6.最適化むずかしい

ある小企業は製品を 1 個あたり €35 の一定の市場価格で販売しています。q 個を生産する費用は C(q) = 100 + 14q + 0.5q² ユーロです。利益が最大になる生産量 q を求めなさい。

p = €35C = 100 + 14q + 0.5q²

q = 個

7.積分ふつう

I = ∫₀¹ e^−x dx を計算しなさい。

f(x) = e^−x[0, 1]

I =

8.積分むずかしい

I = ∫₀^1.5 x²·eˣ dx を計算しなさい。

∫₀^1.5 x²eˣ dx

I =

3溶液

1.極限

答え: L = −1.167

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

共役な式を掛ける

f(x) = −7x/(√(9x² − 7x) + 3x)

x で割る

f(x) = −7/(√(9 + (−7)/x) + 3)

x → ∞ とする

L = −7/(3 + 3) = −1.167

答え

L = −1.167

2.極限

答え: L = 4.5

1 回目の適用

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

2 回目の適用

9·e^3x/2

x = 0 を代入する

L = 9·1/2 = 4.5

答え

L = 4.5

3.微分

答え: f′(1) = 0.077

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則と連鎖律

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

代入する

f′(1) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

答え

f′(1) = 0.077

4.微分

答え: x = −2

導関数

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

f′(x) = 0 を解く

x = −2 または x = 2

どちらがどちらか

f″(x) = 6x：極大では負、極小では正。

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = −2

答え

x = −2

5.最適化

答え: C = 598.7 €

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての費用

C(x) = 28x + 3200/x

導関数をゼロとおく

C″(x) = 6400/x³ > 0 なので、これは最小です。

x = √(3200/28) = 10.69 m

y = 200/10.69 = 18.71 m

最小費用

C = 28·10.69 + 3200/10.69 = €598.7

答え

C = €598.7

6.最適化

答え: q = 21 個

利益関数

P(q) = 35q − (100 + 14q + 0.5q²) = −0.5q² + 21q − 100

導関数をゼロとおく

P″(q) = −1 < 0 なので、これは最大です。

21 − 1q = 0 → q = 21

最大利益

P = 21·21 − 0.5·21² − 100 = €120.5

答え

q = 21

7.積分

答え: I = 0.6321

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = e^−x/(−1)

上端と下端を代入する

I = (e⁻¹ − 1)/(−1) = (0.3679 − 1)/(−1) = 0.6321

答え

I = 0.6321

8.積分

答え: I = 3.602

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

1 回目

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

2 回目

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

極限

4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602

答え

I = 3.602

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