微分積分学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^3x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 + 1/x)^3xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x² を求めなさい。

f(x) = (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x²x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x·sin(3x)（x はラジアン）とします。f′(0.5) を求めなさい。

f(x) = x·sin(3x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 6x² + 4 とします。極小点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 6x² + 4

x =

5.最適化ふつう

ふたと底のある円柱形の缶に 1000 cm³ を入れなければなりません。使う金属の量は表面積の合計に比例します。表面積の最小値 A を求めなさい。

V = 1000 cm³

A = cm²

6.最適化むずかしい

ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 150 − 1q ユーロ、費用は C(q) = 800 + 25q ユーロです。利益が最大になる価格 p を求めなさい。

p = 150 − 1qC = 800 + 25q

p = €

7.積分ふつう

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx を計算しなさい。

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

8.積分むずかしい

放物線 y = 4 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 4 − x²

A =

3溶液

1.極限

答え: L = 20.09

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 1/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 3·1 = 3

対数をもとに戻す

L = e³ = 20.09

答え

L = 20.09

2.極限

答え: L = 0.125

1 回目の適用

(−0.5·e^−0.5x + 0.5)/(2x) → 0/0

2 回目の適用

0.25·e^−0.5x/2

x = 0 を代入する

L = 0.25·1/2 = 0.125

答え

L = 0.125

3.微分

答え: f′(0.5) = 1.104

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則と連鎖律

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入する

f′(0.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

答え

f′(0.5) = 1.104

4.微分

答え: x = 4

導関数

f′(x) = 3x² − 12x = 3·(x² − 4x)

f′(x) = 0 を解く

x = 0 または x = 4

どちらがどちらか

f″(x) = 6x − 12：極大では負、極小では正。

f″(0) = −12, f″(4) = 12

x = 4

答え

x = 4

5.最適化

答え: A = 553.6 cm²

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

r の関数としての面積

h = 1000/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2000/r

導関数をゼロとおく

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0 なので、これは最小です。

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5.419 cm

高さと面積

h = 1000/(π·5.419²) = 2r = 10.84 cm

A = 2π·5.419² + 2000/5.419 = 553.6 cm²

答え

A = 553.6 cm²

最も経済的なふたつきの缶は、高さと直径が等しくなります：h = 2r。

6.最適化

答え: p = 87.5 €

利益関数

P(q) = (150 − 1q)·q − (800 + 25q) = −q² + 125q − 800

導関数をゼロとおく

P″(q) = −2 < 0 なので、これは最大です。

q = 125/2 = 62.5

価格と利益

p = 150 − 1·62.5 = €87.5

P = 125·62.5 − 1·62.5² − 800 = €3106

答え

p = €87.5

7.積分

答え: I = 2.333

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

置換積分

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

積分して代入する

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2.333

答え

I = 2.333

8.積分

答え: A = 10.67

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

積分する

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答え

A = 10.67

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