微分積分学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 − 1/x)^xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = (−2x − 1)⁴ とします。f′(−1) を求めなさい。

f(x) = (−2x − 1)⁴x = −1

f′(−1) =

4.微分むずかしい

f(x) = 3x² + x + 3 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 3x² + x + 3x = 3

b =

5.最適化ふつう

600 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €25、ほかの 3 辺は 1 m あたり €5 かかります。総費用の最小値 C を求めなさい。

A = 600 m²€25/m€5/m

C = €

6.最適化むずかしい

ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 120 − 0.2q ユーロ、費用は C(q) = 1800 + 35q ユーロです。利益が最大になる週の生産量 q を求めなさい。

p = 120 − 0.2qC = 1800 + 35q

q = 個

7.積分ふつう

I = ∫₀³ e^−x dx を計算しなさい。

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

8.積分むずかしい

y = 0.5x² と y = x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 0.5x²y = x

A =

3溶液

1.極限

答え: L = 0.3679

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 1/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 1·(−1) = −1

対数をもとに戻す

L = e⁻¹ = 0.3679

答え

L = 0.3679

2.極限

答え: L = 0.6667

1 回目の適用

2·sin 2x/(6x) → 0/0

2 回目の適用

4·cos 2x/6

x = 0 を代入する

L = 4/6 = 0.6667

答え

L = 0.6667

3.微分

答え: f′(−1) = −8

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 4·(−2x − 1)³·(−2)

代入する

f′(−1) = 4·1³·(−2) = −8

答え

f′(−1) = −8

4.微分

答え: b = −24

接点と傾き

f(3) = 33

f′(x) = 6x + 1 → f′(3) = 19

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 33 − 19·3 = −24

答え

b = −24

5.最適化

答え: C = 848.5 €

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての費用

C(x) = 30x + 6000/x

導関数をゼロとおく

C″(x) = 12000/x³ > 0 なので、これは最小です。

x = √(6000/30) = 14.14 m

y = 600/14.14 = 42.43 m

最小費用

C = 30·14.14 + 6000/14.14 = €848.5

答え

C = €848.5

6.最適化

答え: q = 212.5 個

利益関数

P(q) = (120 − 0.2q)·q − (1800 + 35q) = −0.2q² + 85q − 1800

導関数をゼロとおく

P″(q) = −0.4 < 0 なので、これは最大です。

q = 85/0.4 = 212.5

価格と利益

p = 120 − 0.2·212.5 = €77.5

P = 85·212.5 − 0.2·212.5² − 1800 = €7231

答え

q = 212.5

7.積分

答え: I = 0.9502

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = e^−x/(−1)

上端と下端を代入する

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0.04979 − 1)/(−1) = 0.9502

答え

I = 0.9502

8.積分

答え: A = 0.6667

交点

0.5x² = x → x = 0, x = 2

上から下を引いて積分する

A = [0.5x² − 0.1667x³]₀² = 0.6667

答え

A = 0.6667

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