微分積分学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (√(x² + 7x) − x) を求めなさい。

f(x) = √(x² + 7x) − xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x² を求めなさい。

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = (2x + 3)⁴ とします。f′(−1) を求めなさい。

f(x) = (2x + 3)⁴x = −1

f′(−1) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 2 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 2

x =

5.最適化ふつう

底面が正方形のふたのない箱に 13500 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。底面の辺の長さ x を求めなさい。

V = 13500 cm³

x = cm

6.最適化むずかしい

ある劇場では 1 公演あたり 2250 枚のチケットを 1 枚 €15 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 50 枚減ります（€1 下げるごとに 50 枚増えます）。 1 公演あたりの最大売上高 R を求めなさい。

2250 × €1550 / €1

R = €

7.積分ふつう

y = √(x) の下の x = 0 から x = 3 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（放物面体）の体積 V を求めなさい。

y = √(x)0 ≤ x ≤ 3

V =

8.積分むずかしい

放物線 y = 4 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 4 − x²

A =

3溶液

1.極限

答え: L = 3.5

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

共役な式を掛ける

f(x) = 7x/(√(x² + 7x) + x)

x で割る

f(x) = 7/(√(1 + 7/x) + 1)

x → ∞ とする

L = 7/(1 + 1) = 3.5

答え

L = 3.5

2.極限

答え: L = 0.5

1 回目の適用

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

2 回目の適用

1·e^−x/2

x = 0 を代入する

L = 1·1/2 = 0.5

答え

L = 0.5

3.微分

答え: f′(−1) = 8

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 4·(2x + 3)³·2

代入する

f′(−1) = 4·1³·2 = 8

答え

f′(−1) = 8

4.微分

答え: x = −1

導関数

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

f′(x) = 0 を解く

x = −1 または x = 3

どちらがどちらか

f″(x) = 6x − 6：極大では負、極小では正。

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = −1

答え

x = −1

5.最適化

答え: x = 30 cm

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての面積

S(x) = x² + 54000/x

導関数をゼロとおく

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0 なので、これは最小です。

x³ = 27000 → x = 30 cm

高さと面積

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

答え

x = 30 cm

最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。

6.最適化

答え: R = 45000 €

価格の関数としての売上高

n(p) = 3000 − 50p

R(p) = 3000p − 50p²

導関数をゼロとおく

R″(p) = −100 < 0 なので、これは最大です。

p = 3000/100 = €30

最大売上高

n = 3000 − 50·30 = 1500

R = 30·1500 = €45000

答え

R = €45000

7.積分

答え: V = 14.14

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀³ x dx

積分する

V = π·1·3²/2 = 14.14

答え

V = 14.14

8.積分

答え: A = 10.67

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

積分する

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答え

A = 10.67

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