極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (√(x2 + 4x) − x) を求めなさい。
f(x) = √(x2 + 4x) − xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 ln(1 + 5x)/sin(x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = ln(1 + 5x)/sin(x)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x·sin(3x)（x はラジアン）とします。f′(1) を求めなさい。
f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad
f′(1) =
4.微分むずかしい
f(x) = 2x2 − x − 5 の x = −2 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = 2x2 − x − 5x = −2
b =
5.最適化ふつう
底面が正方形のふたのない箱に 108000 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。 底面の辺の長さ x を求めなさい。
V = 108000 cm³
x = cm
6.最適化むずかしい
ある小企業は製品を 1 個あたり €40 の一定の市場価格で販売しています。q 個を生産する費用は C(q) = 600 + 22q + 0.05q² ユーロです。 利益が最大になる生産量 q を求めなさい。
p = €40C = 600 + 22q + 0.05q²
q = 個
7.積分ふつう
I = ∫26 4/x dx を計算しなさい。
f(x) = 4/x[2, 6]
I =
8.積分むずかしい
y = x2 と y = 4x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。
y = x2y = 4x
A =
3溶液
1.極限
答え: L = 2
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
共役な式を掛ける
f(x) = 4x/(√(x2 + 4x) + x)
x で割る
f(x) = 4/(√(1 + 4/x) + 1)
x → ∞ とする
L = 4/(1 + 1) = 2
答え
L = 2
2.極限
答え: L = 5
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
ロピタルの定理
L = limx→0 [5/(1 + 5x)]/[cos x]
x = 0 を代入する
L = 5/1 = 5
答え
L = 5
3.微分
答え: f′(1) = −2.829
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則と連鎖律
f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)
代入する
f′(1) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829
答え
f′(1) = −2.829
4.微分
答え: b = −13
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(−2) = 5
f′(x) = 4x − 1 → f′(−2) = −9
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − (−9)·(−2) = −13
答え
b = −13
5.最適化
答え: x = 60 cm
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての面積
S(x) = x² + 432000/x
導関数をゼロとおく
S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0 なので、これは最小です。
x³ = 216000 → x = 60 cm
高さと面積
h = 108000/60² = 30 cm
S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²
答え
x = 60 cm
最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。
6.最適化
答え: q = 180 個
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = 40q − (600 + 22q + 0.05q²) = −0.05q2 + 18q − 600
導関数をゼロとおく
P″(q) = −0.1 < 0 なので、これは最大です。
18 − 0.1q = 0 → q = 180
最大利益
P = 18·180 − 0.05·180² − 600 = €1020
答え
q = 180
7.積分
答え: I = 4.394
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
原始関数
F(x) = 4·ln x
上端と下端を代入する
I = 4·(ln 6 − ln 2) = 4·ln 3 = 4.394
答え
I = 4.394
8.積分
答え: A = 10.67
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
交点
x2 = 4x → x = 0, x = 4
上から下を引いて積分する
A = [2x2 − 0.3333x3]04 = 10.67
答え
A = 10.67
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