極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (√(9x2 − 4x) − 3x) を求めなさい。
f(x) = √(9x2 − 4x) − 3xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (e−2x − 1 + 2x)/x² を求めなさい。
f(x) = (e−2x − 1 + 2x)/x²x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x·sin(x)（x はラジアン）とします。f′(0.5) を求めなさい。
f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
4.微分むずかしい
f(x) = 2x2 + 4x + 5 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = 2x2 + 4x + 5x = 3
b =
5.最適化ふつう
600 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €30、ほかの 3 辺は 1 m あたり €8 かかります。 費用が最小になる道路側の辺の長さ x を求めなさい。
A = 600 m²€30/m€8/m
x = m
6.最適化むずかしい
ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 160 − 2q ユーロ、費用は C(q) = 200 + 95q ユーロです。 利益が最大になる週の生産量 q を求めなさい。
p = 160 − 2qC = 200 + 95q
q = 個
7.積分ふつう
I = ∫₁2 x·ln x dx を計算しなさい。
∫₁2 x ln x dx
I =
8.積分むずかしい
放物線 y = 1 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。
y = 1 − x²
A =
3溶液
1.極限
答え: L = −0.6667
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
共役な式を掛ける
f(x) = −4x/(√(9x2 − 4x) + 3x)
x で割る
f(x) = −4/(√(9 + (−4)/x) + 3)
x → ∞ とする
L = −4/(3 + 3) = −0.6667
答え
L = −0.6667
2.極限
答え: L = 2
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
(−2·e−2x + 2)/(2x) → 0/0
2 回目の適用
4·e−2x/2
x = 0 を代入する
L = 4·1/2 = 2
答え
L = 2
3.微分
答え: f′(0.5) = 0.9182
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則と連鎖律
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
代入する
f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182
答え
f′(0.5) = 0.9182
4.微分
答え: b = −13
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(3) = 35
f′(x) = 4x + 4 → f′(3) = 16
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 35 − 16·3 = −13
答え
b = −13
5.最適化
答え: x = 15.89 m
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての費用
C(x) = 38x + 9600/x
導関数をゼロとおく
C″(x) = 19200/x³ > 0 なので、これは最小です。
x = √(9600/38) = 15.89 m
y = 600/15.89 = 37.75 m
最小費用
C = 38·15.89 + 9600/15.89 = €1208
答え
x = 15.89 m
6.最適化
答え: q = 16.25 個
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = (160 − 2q)·q − (200 + 95q) = −2q2 + 65q − 200
導関数をゼロとおく
P″(q) = −4 < 0 なので、これは最大です。
q = 65/4 = 16.25
価格と利益
p = 160 − 2·16.25 = €127.5
P = 65·16.25 − 2·16.25² − 200 = €328.1
答え
q = 16.25
7.積分
答え: I = 0.6363
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
u と dv を選ぶ
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
原始関数
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
極限
(2·ln 2 − 1) − (0 − 0.25) = 0.6363
答え
I = 0.6363
8.積分
答え: A = 1.333
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
零点
1 − x² = 0 → x = ±1
積分する
A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333
答え
A = 1.333
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1