微分積分学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (√(9x² + 3x) − 3x) を求めなさい。

f(x) = √(9x² + 3x) − 3xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(3x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 4x)/(3x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x·sin(2x)（x はラジアン）とします。f′(2) を求めなさい。

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

4.微分むずかしい

f(x) = −x² + 6 の x = 1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = −x² + 6x = 1

b =

5.最適化ふつう

底面が正方形のふたのない箱に 500 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。底面の辺の長さ x を求めなさい。

V = 500 cm³

x = cm

6.最適化むずかしい

ある小企業は製品を 1 個あたり €50 の一定の市場価格で販売しています。q 個を生産する費用は C(q) = 3900 + 22q + 0.01q² ユーロです。利益が最大になる生産量 q を求めなさい。

p = €50C = 3900 + 22q + 0.01q²

q = 個

7.積分ふつう

I = ∫₂⁶ 5/x dx を計算しなさい。

f(x) = 5/x[2, 6]

I =

8.積分むずかしい

直線 y = 3x と放物線 y = 3x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 3xy = 3x²

V =

3溶液

1.極限

答え: L = 0.5

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

共役な式を掛ける

f(x) = 3x/(√(9x² + 3x) + 3x)

x で割る

f(x) = 3/(√(9 + 3/x) + 3)

x → ∞ とする

L = 3/(3 + 3) = 0.5

答え

L = 0.5

2.極限

答え: L = 2.667

1 回目の適用

4·sin 4x/(6x) → 0/0

2 回目の適用

16·cos 4x/6

x = 0 を代入する

L = 16/6 = 2.667

答え

L = 2.667

3.微分

答え: f′(2) = −3.371

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則と連鎖律

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

代入する

f′(2) = −0.7568 + 4·(−0.6536) = −3.371

答え

f′(2) = −3.371

4.微分

答え: b = 7

接点と傾き

f(1) = 5

f′(x) = −2x → f′(1) = −2

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − (−2)·1 = 7

答え

b = 7

5.最適化

答え: x = 10 cm

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての面積

S(x) = x² + 2000/x

導関数をゼロとおく

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0 なので、これは最小です。

x³ = 1000 → x = 10 cm

高さと面積

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

答え

x = 10 cm

最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。

6.最適化

答え: q = 1400 個

利益関数

P(q) = 50q − (3900 + 22q + 0.01q²) = −0.01q² + 28q − 3900

導関数をゼロとおく

P″(q) = −0.02 < 0 なので、これは最大です。

28 − 0.02q = 0 → q = 1400

最大利益

P = 28·1400 − 0.01·1400² − 3900 = €15700

答え

q = 1400

7.積分

答え: I = 5.493

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = 5·ln x

上端と下端を代入する

I = 5·(ln 6 − ln 2) = 5·ln 3 = 5.493

答え

I = 5.493

8.積分

答え: V = 3.77

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

交点

3x = 3x² → x = 0, x = 1

ワッシャー法

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

積分する

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1.2 = 3.77

答え

V = 3.77

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