極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (√(x2 + 2x) − x) を求めなさい。
f(x) = √(x2 + 2x) − xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(5x) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = ln(1 + 2x)/sin(5x)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = ln(x2 + 5) とします。f′(3) を求めなさい。
f(x) = ln(x2 + 5)x = 3
f′(3) =
4.微分むずかしい
f(x) = 0.5x2 + 2x − 1 の x = −1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = 0.5x2 + 2x − 1x = −1
b =
5.最適化ふつう
底面が正方形のふたのない箱に 13500 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。 表面積の最小値 S を求めなさい。
V = 13500 cm³
S = cm²
6.最適化むずかしい
ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 190 − 0.5q ユーロ、費用は C(q) = 3600 + 55q ユーロです。 利益が最大になる週の生産量 q を求めなさい。
p = 190 − 0.5qC = 3600 + 55q
q = 個
7.積分ふつう
I = ∫01 2x·(x² + 1)1 dx を計算しなさい。
f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 1]
I =
8.積分むずかしい
y = x2 と y = x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。
y = x2y = x
A =
3溶液
1.極限
答え: L = 1
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
共役な式を掛ける
f(x) = 2x/(√(x2 + 2x) + x)
x で割る
f(x) = 2/(√(1 + 2/x) + 1)
x → ∞ とする
L = 2/(1 + 1) = 1
答え
L = 1
2.極限
答え: L = 0.4
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
ロピタルの定理
L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[5·cos 5x]
x = 0 を代入する
L = 2/5 = 0.4
答え
L = 0.4
3.微分
答え: f′(3) = 0.4286
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
対数の連鎖律
f′(x) = 2x/(x2 + 5)
代入する
f′(3) = 6/14 = 0.4286
答え
f′(3) = 0.4286
4.微分
答え: b = −1.5
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(−1) = −2.5
f′(x) = x + 2 → f′(−1) = 1
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2.5 − 1·(−1) = −1.5
答え
b = −1.5
5.最適化
答え: S = 2700 cm²
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての面積
S(x) = x² + 54000/x
導関数をゼロとおく
S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0 なので、これは最小です。
x³ = 27000 → x = 30 cm
高さと面積
h = 13500/30² = 15 cm
S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²
答え
S = 2700 cm²
最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。
6.最適化
答え: q = 135 個
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = (190 − 0.5q)·q − (3600 + 55q) = −0.5q2 + 135q − 3600
導関数をゼロとおく
P″(q) = −1 < 0 なので、これは最大です。
q = 135/1 = 135
価格と利益
p = 190 − 0.5·135 = €122.5
P = 135·135 − 0.5·135² − 3600 = €5513
答え
q = 135
7.積分
答え: I = 1.5
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
置換積分
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u1 du
積分して代入する
I = [u2/2]12 = (4 − 1)/2 = 1.5
答え
I = 1.5
8.積分
答え: A = 0.1667
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
交点
x2 = x → x = 0, x = 1
上から下を引いて積分する
A = [0.5x2 − 0.3333x3]01 = 0.1667
答え
A = 0.1667
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