微分積分学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (√(9x² − 8x) − 3x) を求めなさい。

f(x) = √(9x² − 8x) − 3xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x² を求めなさい。

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = ln(2x² + 5) とします。f′(−1) を求めなさい。

f(x) = ln(2x² + 5)x = −1

f′(−1) =

4.微分むずかしい

f(x) = −x² − 2 の x = 1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = −x² − 2x = 1

b =

5.最適化ふつう

底面が正方形のふたのない箱に 500 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。底面の辺の長さ x を求めなさい。

V = 500 cm³

x = cm

6.最適化むずかしい

ある劇場では 1 公演あたり 340 枚のチケットを 1 枚 €20 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 10 枚減ります（€1 下げるごとに 10 枚増えます）。 1 公演あたりの最大売上高 R を求めなさい。

340 × €2010 / €1

R = €

7.積分ふつう

I = ∫₁³ x·ln x dx を計算しなさい。

∫₁³ x ln x dx

I =

8.積分むずかしい

放物線 y = 1 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 1 − x²

A =

3溶液

1.極限

答え: L = −1.333

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

共役な式を掛ける

f(x) = −8x/(√(9x² − 8x) + 3x)

x で割る

f(x) = −8/(√(9 + (−8)/x) + 3)

x → ∞ とする

L = −8/(3 + 3) = −1.333

答え

L = −1.333

2.極限

答え: L = 0.5

1 回目の適用

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

2 回目の適用

1·e^x/2

x = 0 を代入する

L = 1·1/2 = 0.5

答え

L = 0.5

3.微分

答え: f′(−1) = −0.5714

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

対数の連鎖律

f′(x) = 4x/(2x² + 5)

代入する

f′(−1) = −4/7 = −0.5714

答え

f′(−1) = −0.5714

4.微分

答え: b = −1

接点と傾き

f(1) = −3

f′(x) = −2x → f′(1) = −2

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − (−2)·1 = −1

答え

b = −1

5.最適化

答え: x = 10 cm

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての面積

S(x) = x² + 2000/x

導関数をゼロとおく

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0 なので、これは最小です。

x³ = 1000 → x = 10 cm

高さと面積

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

答え

x = 10 cm

最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。

6.最適化

答え: R = 7290 €

価格の関数としての売上高

n(p) = 540 − 10p

R(p) = 540p − 10p²

導関数をゼロとおく

R″(p) = −20 < 0 なので、これは最大です。

p = 540/20 = €27

最大売上高

n = 540 − 10·27 = 270

R = 27·270 = €7290

答え

R = €7290

7.積分

答え: I = 2.944

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原始関数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

極限

(4.5·ln 3 − 2.25) − (0 − 0.25) = 2.944

答え

I = 2.944

8.積分

答え: A = 1.333

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

零点

1 − x² = 0 → x = ±1

積分する

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

答え

A = 1.333

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