極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (√(x2 − 10x) − x) を求めなさい。
f(x) = √(x2 − 10x) − xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x² を求めなさい。
f(x) = (e−x − 1 + x)/x²x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = (4x + 1)5 とします。f′(0) を求めなさい。
f(x) = (4x + 1)5x = 0
f′(0) =
4.微分むずかしい
f(x) = 0.5x2 + 3x − 5 の x = −2 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = 0.5x2 + 3x − 5x = −2
b =
5.最適化ふつう
800 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €25、ほかの 3 辺は 1 m あたり €12 かかります。 総費用の最小値 C を求めなさい。
A = 800 m²€25/m€12/m
C = €
6.最適化むずかしい
ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 90 − 0.2q ユーロ、費用は C(q) = 1600 + 25q ユーロです。 週の最大利益 P を求めなさい。
p = 90 − 0.2qC = 1600 + 25q
P = €
7.積分ふつう
I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx を計算しなさい。
f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
8.積分むずかしい
直線 y = 5x と放物線 y = 2x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。
y = 5xy = 2x²
V =
3溶液
1.極限
答え: L = −5
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
共役な式を掛ける
f(x) = −10x/(√(x2 − 10x) + x)
x で割る
f(x) = −10/(√(1 + (−10)/x) + 1)
x → ∞ とする
L = −10/(1 + 1) = −5
答え
L = −5
2.極限
答え: L = 0.5
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
(−1·e−x + 1)/(2x) → 0/0
2 回目の適用
1·e−x/2
x = 0 を代入する
L = 1·1/2 = 0.5
答え
L = 0.5
3.微分
答え: f′(0) = 20
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
連鎖律
f′(x) = 5·(4x + 1)4·4
代入する
f′(0) = 5·14·4 = 20
答え
f′(0) = 20
4.微分
答え: b = −7
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(−2) = −9
f′(x) = x + 3 → f′(−2) = 1
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −9 − 1·(−2) = −7
答え
b = −7
5.最適化
答え: C = 1686 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての費用
C(x) = 37x + 19200/x
導関数をゼロとおく
C″(x) = 38400/x³ > 0 なので、これは最小です。
x = √(19200/37) = 22.78 m
y = 800/22.78 = 35.12 m
最小費用
C = 37·22.78 + 19200/22.78 = €1686
答え
C = €1686
6.最適化
答え: P = 3681 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = (90 − 0.2q)·q − (1600 + 25q) = −0.2q2 + 65q − 1600
導関数をゼロとおく
P″(q) = −0.4 < 0 なので、これは最大です。
q = 65/0.4 = 162.5
価格と利益
p = 90 − 0.2·162.5 = €57.5
P = 65·162.5 − 0.2·162.5² − 1600 = €3681
答え
P = €3681
7.積分
答え: I = 41.33
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
置換積分
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du
積分して代入する
I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41.33
答え
I = 41.33
8.積分
答え: V = 163.6
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
交点
5x = 2x² → x = 0, x = 2.5
ワッシャー法
V = π∫₀2.5 ((5x)² − (2x²)²) dx
積分する
V = π(25·2.5³/3 − 4·2.5⁵/5) = π·52.08 = 163.6
答え
V = 163.6
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