極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (1 − 2/x)3x を求めなさい。小数で答えなさい。
f(x) = (1 − 2/x)3xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (ex − 1 − x)/x² を求めなさい。
f(x) = (ex − 1 − x)/x²x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = (2x + 1)3 とします。f′(−1) を求めなさい。
f(x) = (2x + 1)3x = −1
f′(−1) =
4.微分むずかしい
f(x) = x3 − 10.5x2 + 30x − 4 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 − 10.5x2 + 30x − 4
x =
5.最適化ふつう
ふたと底のある円柱形の缶に 400 cm³ を入れなければなりません。使う金属の量は表面積の合計に比例します。 材料が最も少なくなる半径 r を求めなさい。
V = 400 cm³
r = cm
6.最適化むずかしい
ある小企業は製品を 1 個あたり €80 の一定の市場価格で販売しています。q 個を生産する費用は C(q) = 9200 + 12q + 0.05q² ユーロです。 利益が最大になる生産量 q を求めなさい。
p = €80C = 9200 + 12q + 0.05q²
q = 個
7.積分ふつう
I = ∫02 2x·(x² + 1)3 dx を計算しなさい。
f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 2]
I =
8.積分むずかしい
I = ∫₀2 x²·eˣ dx を計算しなさい。
∫₀2 x²eˣ dx
I =
3溶液
1.極限
答え: L = 0.002479
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
対数をとる
ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 − 2/x)
計算する
u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。
ln L = 3·(−2) = −6
対数をもとに戻す
L = e−6 = 0.002479
答え
L = 0.002479
2.極限
答え: L = 0.5
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
(1·ex − 1)/(2x) → 0/0
2 回目の適用
1·ex/2
x = 0 を代入する
L = 1·1/2 = 0.5
答え
L = 0.5
3.微分
答え: f′(−1) = 6
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
連鎖律
f′(x) = 3·(2x + 1)2·2
代入する
f′(−1) = 3·(−1)2·2 = 6
答え
f′(−1) = 6
4.微分
答え: x = 2
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 − 21x + 30 = 3·(x2 − 7x + 10)
f′(x) = 0 を解く
x = 2 または x = 5
どちらがどちらか
f″(x) = 6x − 21：極大では負、極小では正。
f″(2) = −9, f″(5) = 9
x = 2
答え
x = 2
5.最適化
答え: r = 3.993 cm
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
r の関数としての面積
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
導関数をゼロとおく
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0 なので、これは最小です。
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm
高さと面積
h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm
A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²
答え
r = 3.993 cm
最も経済的なふたつきの缶は、高さと直径が等しくなります：h = 2r。
6.最適化
答え: q = 680 個
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = 80q − (9200 + 12q + 0.05q²) = −0.05q2 + 68q − 9200
導関数をゼロとおく
P″(q) = −0.1 < 0 なので、これは最大です。
68 − 0.1q = 0 → q = 680
最大利益
P = 68·680 − 0.05·680² − 9200 = €13920
答え
q = 680
7.積分
答え: I = 156
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
置換積分
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u3 du
積分して代入する
I = [u4/4]15 = (625 − 1)/4 = 156
答え
I = 156
8.積分
答え: I = 12.78
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
1 回目
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
2 回目
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
極限
7.389·(2) − 1·2 = 12.78
答え
I = 12.78
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