極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (1 + 0.5/x)2x を求めなさい。小数で答えなさい。
f(x) = (1 + 0.5/x)2xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (e1.5x − 1 − 1.5x)/x² を求めなさい。
f(x) = (e1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = (3x + 5)4 とします。f′(2) を求めなさい。
f(x) = (3x + 5)4x = 2
f′(2) =
4.微分むずかしい
f(x) = x3 − 4.5x2 + 6x − 6 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 − 4.5x2 + 6x − 6
x =
5.最適化ふつう
底面が正方形のふたのない箱に 4000 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。 底面の辺の長さ x を求めなさい。
V = 4000 cm³
x = cm
6.最適化むずかしい
ある小企業は製品を 1 個あたり €55 の一定の市場価格で販売しています。q 個を生産する費用は C(q) = 100 + 42q + 0.5q² ユーロです。 最大利益 P を求めなさい。
p = €55C = 100 + 42q + 0.5q²
P = €
7.積分ふつう
I = ∫02 e2x dx を計算しなさい。
f(x) = e2x[0, 2]
I =
8.積分むずかしい
直線 y = 3x と放物線 y = x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。
y = 3xy = x²
V =
3溶液
1.極限
答え: L = 2.718
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
対数をとる
ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 + 0.5/x)
計算する
u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。
ln L = 2·0.5 = 1
対数をもとに戻す
L = e1 = 2.718
答え
L = 2.718
2.極限
答え: L = 1.125
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
(1.5·e1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0
2 回目の適用
2.25·e1.5x/2
x = 0 を代入する
L = 2.25·1/2 = 1.125
答え
L = 1.125
3.微分
答え: f′(2) = 15972
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
連鎖律
f′(x) = 4·(3x + 5)3·3
代入する
f′(2) = 4·113·3 = 15972
答え
f′(2) = 15972
4.微分
答え: x = 1
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 − 9x + 6 = 3·(x2 − 3x + 2)
f′(x) = 0 を解く
x = 1 または x = 2
どちらがどちらか
f″(x) = 6x − 9：極大では負、極小では正。
f″(1) = −3, f″(2) = 3
x = 1
答え
x = 1
5.最適化
答え: x = 20 cm
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての面積
S(x) = x² + 16000/x
導関数をゼロとおく
S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0 なので、これは最小です。
x³ = 8000 → x = 20 cm
高さと面積
h = 4000/20² = 10 cm
S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²
答え
x = 20 cm
最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。
6.最適化
答え: P = −15.5 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
利益関数
P(q) = 55q − (100 + 42q + 0.5q²) = −0.5q2 + 13q − 100
導関数をゼロとおく
P″(q) = −1 < 0 なので、これは最大です。
13 − 1q = 0 → q = 13
最大利益
P = 13·13 − 0.5·13² − 100 = €−15.5
答え
P = €−15.5
7.積分
答え: I = 26.8
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
原始関数
F(x) = e2x/2
上端と下端を代入する
I = (e4 − 1)/2 = (54.6 − 1)/2 = 26.8
答え
I = 26.8
8.積分
答え: V = 101.8
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
交点
3x = 1x² → x = 0, x = 3
ワッシャー法
V = π∫₀3 ((3x)² − (1x²)²) dx
積分する
V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32.4 = 101.8
答え
V = 101.8
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