極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (√(4x2 − 7x) − 2x) を求めなさい。
f(x) = √(4x2 − 7x) − 2xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (1 − cos 4x)/(4x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x·sin(3x)（x はラジアン）とします。f′(0.5) を求めなさい。
f(x) = x·sin(3x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
4.微分むずかしい
f(x) = 2x2 + 4x + 2 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = 2x2 + 4x + 2x = 3
b =
5.最適化ふつう
ふたと底のある円柱形の缶に 330 cm³ を入れなければなりません。使う金属の量は表面積の合計に比例します。 材料が最も少なくなる半径 r を求めなさい。
V = 330 cm³
r = cm
6.最適化むずかしい
ある劇場では 1 公演あたり 780 枚のチケットを 1 枚 €15 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 20 枚減ります（€1 下げるごとに 20 枚増えます）。 1 公演あたりの最大売上高 R を求めなさい。
780 × €1520 / €1
R = €
7.積分ふつう
I = ∫₁3 x·ln x dx を計算しなさい。
∫₁3 x ln x dx
I =
8.積分むずかしい
放物線 y = 1 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。
y = 1 − x²
A =
3溶液
1.極限
答え: L = −1.75
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
共役な式を掛ける
f(x) = −7x/(√(4x2 − 7x) + 2x)
x で割る
f(x) = −7/(√(4 + (−7)/x) + 2)
x → ∞ とする
L = −7/(2 + 2) = −1.75
答え
L = −1.75
2.極限
答え: L = 2
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
4·sin 4x/(8x) → 0/0
2 回目の適用
16·cos 4x/8
x = 0 を代入する
L = 16/8 = 2
答え
L = 2
3.微分
答え: f′(0.5) = 1.104
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則と連鎖律
f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)
代入する
f′(0.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104
答え
f′(0.5) = 1.104
4.微分
答え: b = −16
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(3) = 32
f′(x) = 4x + 4 → f′(3) = 16
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 32 − 16·3 = −16
答え
b = −16
5.最適化
答え: r = 3.745 cm
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
r の関数としての面積
h = 330/(πr²)
A(r) = 2πr² + 660/r
導関数をゼロとおく
A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0 なので、これは最小です。
4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3.745 cm
高さと面積
h = 330/(π·3.745²) = 2r = 7.49 cm
A = 2π·3.745² + 660/3.745 = 264.4 cm²
答え
r = 3.745 cm
最も経済的なふたつきの缶は、高さと直径が等しくなります：h = 2r。
6.最適化
答え: R = 14580 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
価格の関数としての売上高
n(p) = 1080 − 20p
R(p) = 1080p − 20p²
導関数をゼロとおく
R″(p) = −40 < 0 なので、これは最大です。
p = 1080/40 = €27
最大売上高
n = 1080 − 20·27 = 540
R = 27·540 = €14580
答え
R = €14580
7.積分
答え: I = 2.944
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
u と dv を選ぶ
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
原始関数
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
極限
(4.5·ln 3 − 2.25) − (0 − 0.25) = 2.944
答え
I = 2.944
8.積分
答え: A = 1.333
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
零点
1 − x² = 0 → x = ±1
積分する
A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333
答え
A = 1.333
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