極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (1 + 2/x)2x を求めなさい。小数で答えなさい。
f(x) = (1 + 2/x)2xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (1 − cos 3x)/(3x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = (1 − cos 3x)/(3x²)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x·sin(x)（x はラジアン）とします。f′(1) を求めなさい。
f(x) = x·sin(x)x = 1 rad
f′(1) =
4.微分むずかしい
f(x) = 0.5x2 − 3x − 1 の x = −1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = 0.5x2 − 3x − 1x = −1
b =
5.最適化ふつう
600 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €15、ほかの 3 辺は 1 m あたり €5 かかります。 総費用の最小値 C を求めなさい。
A = 600 m²€15/m€5/m
C = €
6.最適化むずかしい
ある劇場では 1 公演あたり 525 枚のチケットを 1 枚 €15 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 25 枚減ります（€1 下げるごとに 25 枚増えます）。 売上高が最大になるチケット価格 p を求めなさい。
525 × €1525 / €1
p = €
7.積分ふつう
I = ∫03 e2x dx を計算しなさい。
f(x) = e2x[0, 3]
I =
8.積分むずかしい
y = 2x2 と y = x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。
y = 2x2y = x
A =
3溶液
1.極限
答え: L = 54.6
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
対数をとる
ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 + 2/x)
計算する
u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。
ln L = 2·2 = 4
対数をもとに戻す
L = e4 = 54.6
答え
L = 54.6
2.極限
答え: L = 1.5
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
3·sin 3x/(6x) → 0/0
2 回目の適用
9·cos 3x/6
x = 0 を代入する
L = 9/6 = 1.5
答え
L = 1.5
3.微分
答え: f′(1) = 1.382
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則と連鎖律
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
代入する
f′(1) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382
答え
f′(1) = 1.382
4.微分
答え: b = −1.5
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(−1) = 2.5
f′(x) = x − 3 → f′(−1) = −4
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2.5 − (−4)·(−1) = −1.5
答え
b = −1.5
5.最適化
答え: C = 692.8 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての費用
C(x) = 20x + 6000/x
導関数をゼロとおく
C″(x) = 12000/x³ > 0 なので、これは最小です。
x = √(6000/20) = 17.32 m
y = 600/17.32 = 34.64 m
最小費用
C = 20·17.32 + 6000/17.32 = €692.8
答え
C = €692.8
6.最適化
答え: p = 18 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
価格の関数としての売上高
n(p) = 900 − 25p
R(p) = 900p − 25p²
導関数をゼロとおく
R″(p) = −50 < 0 なので、これは最大です。
p = 900/50 = €18
最大売上高
n = 900 − 25·18 = 450
R = 18·450 = €8100
答え
p = €18
7.積分
答え: I = 201.2
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
原始関数
F(x) = e2x/2
上端と下端を代入する
I = (e6 − 1)/2 = (403.4 − 1)/2 = 201.2
答え
I = 201.2
8.積分
答え: A = 0.04167
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
交点
2x2 = x → x = 0, x = 0.5
上から下を引いて積分する
A = [0.5x2 − 0.6667x3]00.5 = 0.04167
答え
A = 0.04167
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