極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (1 − 1/x)2x を求めなさい。小数で答えなさい。
f(x) = (1 − 1/x)2xx → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (e−0.5x − 1 + 0.5x)/x² を求めなさい。
f(x) = (e−0.5x − 1 + 0.5x)/x²x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x2·e−0.5x とします。f′(2) を求めなさい。
f(x) = x2·e−0.5xx = 2
f′(2) =
4.微分むずかしい
f(x) = x3 − 12x とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。
f(x) = x3 − 12x
x =
5.最適化ふつう
ふたと底のある円柱形の缶に 355 cm³ を入れなければなりません。使う金属の量は表面積の合計に比例します。 表面積の最小値 A を求めなさい。
V = 355 cm³
A = cm²
6.最適化むずかしい
ある劇場では 1 公演あたり 1100 枚のチケットを 1 枚 €20 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 25 枚減ります（€1 下げるごとに 25 枚増えます）。 売上高が最大になるチケット価格 p を求めなさい。
1100 × €2025 / €1
p = €
7.積分ふつう
I = ∫₁1.5 x·ln x dx を計算しなさい。
∫₁1.5 x ln x dx
I =
8.積分むずかしい
I = ∫₀2.5 x²·eˣ dx を計算しなさい。
∫₀2.5 x²eˣ dx
I =
3溶液
1.極限
答え: L = 0.1353
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
対数をとる
ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)
計算する
u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。
ln L = 2·(−1) = −2
対数をもとに戻す
L = e−2 = 0.1353
答え
L = 0.1353
2.極限
答え: L = 0.125
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
(−0.5·e−0.5x + 0.5)/(2x) → 0/0
2 回目の適用
0.25·e−0.5x/2
x = 0 を代入する
L = 0.25·1/2 = 0.125
答え
L = 0.125
3.微分
答え: f′(2) = 0.7358
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則
f′(x) = u′v + uv′ = e−0.5x·(2x + (−0.5)·x2)
代入する
f′(2) = 0.3679·(4 + (−2)) = 0.7358
答え
f′(2) = 0.7358
4.微分
答え: x = −2
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
導関数
f′(x) = 3x2 − 12 = 3·(x2 − 4)
f′(x) = 0 を解く
x = −2 または x = 2
どちらがどちらか
f″(x) = 6x：極大では負、極小では正。
f″(−2) = −12, f″(2) = 12
x = −2
答え
x = −2
5.最適化
答え: A = 277.5 cm²
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
r の関数としての面積
h = 355/(πr²)
A(r) = 2πr² + 710/r
導関数をゼロとおく
A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0 なので、これは最小です。
4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3.837 cm
高さと面積
h = 355/(π·3.837²) = 2r = 7.674 cm
A = 2π·3.837² + 710/3.837 = 277.5 cm²
答え
A = 277.5 cm²
最も経済的なふたつきの缶は、高さと直径が等しくなります：h = 2r。
6.最適化
答え: p = 32 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
価格の関数としての売上高
n(p) = 1600 − 25p
R(p) = 1600p − 25p²
導関数をゼロとおく
R″(p) = −50 < 0 なので、これは最大です。
p = 1600/50 = €32
最大売上高
n = 1600 − 25·32 = 800
R = 32·800 = €25600
答え
p = €32
7.積分
答え: I = 0.1436
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
u と dv を選ぶ
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
原始関数
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
極限
(1.125·ln 1.5 − 0.5625) − (0 − 0.25) = 0.1436
答え
I = 0.1436
8.積分
答え: I = 37.59
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
1 回目
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
2 回目
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
極限
12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59
答え
I = 37.59
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