微分積分学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (−3x² + x + 8)/(x² + 6x + 8) を求めなさい。

f(x) = (−3x² + x + 8)/(x² + 6x + 8)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(2x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = (−2x − 1)³ とします。f′(−1) を求めなさい。

f(x) = (−2x − 1)³x = −1

f′(−1) =

4.微分むずかしい

f(x) = 2x² − 2x + 3 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 2x² − 2x + 3x = 3

b =

5.最適化ふつう

底面が正方形のふたのない箱に 13500 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。表面積の最小値 S を求めなさい。

V = 13500 cm³

S = cm²

6.最適化むずかしい

ある劇場では 1 公演あたり 1560 枚のチケットを 1 枚 €20 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 40 枚減ります（€1 下げるごとに 40 枚増えます）。 1 公演あたりの最大売上高 R を求めなさい。

1560 × €2040 / €1

R = €

7.積分ふつう

I = ∫₂⁶ 1/x dx を計算しなさい。

f(x) = 1/x[2, 6]

I =

8.積分むずかしい

I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx を計算しなさい。

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

3溶液

1.極限

答え: L = −3

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(−3 + 1/x + 8/x²)/(1 + 6/x + 8/x²)

x → ∞ とする

L = −3/1 = −3

答え

L = −3

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 4

1 回目の適用

4·sin 4x/(4x) → 0/0

2 回目の適用

16·cos 4x/4

x = 0 を代入する

L = 16/4 = 4

答え

L = 4

3.微分

答え: f′(−1) = −6

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 3·(−2x − 1)²·(−2)

代入する

f′(−1) = 3·1²·(−2) = −6

答え

f′(−1) = −6

4.微分

答え: b = −15

接点と傾き

f(3) = 15

f′(x) = 4x − 2 → f′(3) = 10

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 15 − 10·3 = −15

答え

b = −15

5.最適化

答え: S = 2700 cm²

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての面積

S(x) = x² + 54000/x

導関数をゼロとおく

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0 なので、これは最小です。

x³ = 27000 → x = 30 cm

高さと面積

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

答え

S = 2700 cm²

最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。

6.最適化

答え: R = 34810 €

価格の関数としての売上高

n(p) = 2360 − 40p

R(p) = 2360p − 40p²

導関数をゼロとおく

R″(p) = −80 < 0 なので、これは最大です。

p = 2360/80 = €29.5

最大売上高

n = 2360 − 40·29.5 = 1180

R = 29.5·1180 = €34810

答え

R = €34810

7.積分

答え: I = 1.099

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = ln x

上端と下端を代入する

I = (ln 6 − ln 2) = ln 3 = 1.099

答え

I = 1.099

8.積分

答え: I = 37.59

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

1 回目

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

2 回目

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

極限

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

答え

I = 37.59

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1