極限
- 直接代入
- まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
- 因数分解して約分
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共役な式
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 無限大での極限
- x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
- 特別な極限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- ロピタルの定理
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微分積分学 I：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
微分
- べき乗の微分
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 積の法則
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商の微分法
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 連鎖律
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 主な導関数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
解き方
- 式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
- x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
- 必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
- 整理し、指定があればその点での値を求めます。
最適化
- 解き方
- Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
- 最大値
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小値
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- ふたのある円柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利益
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
積分
- べき乗の微分
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定積分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 主な不定積分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲線で囲まれた面積
- ∫ab (f − g) dx
解き方
- できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
- べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。ex、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
- 関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
- 定積分では F(b) − F(a) を計算します。
2演習問題
1.極限ふつう
極限 L = limx→∞ (−3x2 − x − 4)/(3x2 + 3x + 3) を求めなさい。
f(x) = (−3x2 − x − 4)/(3x2 + 3x + 3)x → ∞
L =
2.極限むずかしい
極限 L = limx→0 (1 − cos 2x)/(2x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。
f(x) = (1 − cos 2x)/(2x²)x → 0
L =
3.微分ふつう
f(x) = x·sin(x)（x はラジアン）とします。f′(0.5) を求めなさい。
f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
4.微分むずかしい
f(x) = 2x2 − 5x − 6 の x = −1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。
f(x) = 2x2 − 5x − 6x = −1
b =
5.最適化ふつう
800 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €15、ほかの 3 辺は 1 m あたり €5 かかります。 総費用の最小値 C を求めなさい。
A = 800 m²€15/m€5/m
C = €
6.最適化むずかしい
ある劇場では 1 公演あたり 600 枚のチケットを 1 枚 €10 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 25 枚減ります（€1 下げるごとに 25 枚増えます）。 1 公演あたりの最大売上高 R を求めなさい。
600 × €1025 / €1
R = €
7.積分ふつう
I = ∫02 2x·(x² + 1)1 dx を計算しなさい。
f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 2]
I =
8.積分むずかしい
y = x2 と y = 4x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。
y = x2y = 4x
A =
3溶液
1.極限
答え: L = −1
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
最高次の累乗で割る
(−3 + (−1)/x + (−4)/x2)/(3 + 3/x + 3/x2)
x → ∞ とする
L = −3/3 = −1
答え
L = −1
次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。
2.極限
答え: L = 1
極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。
1 回目の適用
2·sin 2x/(4x) → 0/0
2 回目の適用
4·cos 2x/4
x = 0 を代入する
L = 4/4 = 1
答え
L = 1
3.微分
答え: f′(0.5) = 0.9182
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
積の法則と連鎖律
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
代入する
f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182
答え
f′(0.5) = 0.9182
4.微分
答え: b = −8
微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。
接点と傾き
f(−1) = 1
f′(x) = 4x − 5 → f′(−1) = −9
x = 0 での接線の値
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − (−9)·(−1) = −8
答え
b = −8
5.最適化
答え: C = 800 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
x の関数としての費用
C(x) = 20x + 8000/x
導関数をゼロとおく
C″(x) = 16000/x³ > 0 なので、これは最小です。
x = √(8000/20) = 20 m
y = 800/20 = 40 m
最小費用
C = 20·20 + 8000/20 = €800
答え
C = €800
6.最適化
答え: R = 7225 €
最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。
価格の関数としての売上高
n(p) = 850 − 25p
R(p) = 850p − 25p²
導関数をゼロとおく
R″(p) = −50 < 0 なので、これは最大です。
p = 850/50 = €17
最大売上高
n = 850 − 25·17 = 425
R = 17·425 = €7225
答え
R = €7225
7.積分
答え: I = 12
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
置換積分
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u1 du
積分して代入する
I = [u2/2]15 = (25 − 1)/2 = 12
答え
I = 12
8.積分
答え: A = 10.67
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
交点
x2 = 4x → x = 0, x = 4
上から下を引いて積分する
A = [2x2 − 0.3333x3]04 = 10.67
答え
A = 10.67
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